用广义积分中值定理,立刻能得出结果,结果是0 .
先要知道广义积分中值定理：
设f(x)与g(x)在[a,b]上都连续,且g(x)在[a,b]上不变号,则至少存在一点 ξ ∈[a,b],使得
∫ f(x)·g(x) dx ＝ f(ξ) · ∫ g(x) dx ,积分限是a到b
证明：设 f(x)＝1/(1＋x), g(x)＝x^n ,易知,设f(x)与g(x)在[0,1]上都连续,且g(x)在[0,1]上不变号.所以,由广义积分中值定理,可知,存在一点 ξ ∈[0,1],使得
∫ f(x)·g(x) dx ＝ f(ξ) · ∫ g(x) dx ,积分限是0到1
即 存在一点 ξ ∈[0,1],使得
∫ x^n/(1＋x) dx ＝1/(1＋ξ )· ∫ x^n dx ,积分限是0到1 , ξ ∈[0,1],
而0到1上的定积分 ∫ x^n dx ＝x^(n＋1)/(n＋1)＝1/(n＋1)
也就是说, ∫ x^n/(1＋x) dx ＝1/[(1＋ξ )· (n＋1)] ,其中ξ ∈[0,1],
因此,当n→∞时,原积分＝0
