力学应用
无粘性正压流体在有势外力作用下,作定常运动时,表达总能量沿流线守恒的一个定理.它是上述条件下运动方程的一个第一积分,又称伯努利方程.定常流动的伯努利定理可写成如下形式：,(1)
式中v为流速；寊为质量力F的势,即 ,
其中p和ρ分别为流体的压力和密度；C为积分常数,它沿同一条流线取同一常数值,不同流线可取不同的值,因此C是流线号码Ψ的函数.在不可压缩均质重流体情形,方程(1)变为： (2)
或 , (3)
式中g为重力加速度;z为垂直高度;C1(Ψ)=C(Ψ)/g.方程(2) 是瑞士数学家丹尼尔第一·伯努利（见伯努利家族）于1738年首先提出的,它实质上是能量守恒的数学表达式.左边三项分别是单位质量流体的动能、势能和压力能.整个式子表示单位质量流体的总能量（即动能、势能和压力能的总和）沿流线守恒.常数C(Ψ)代表不同流线上的总能量.方程(3)的形式具有明显的几何意义.左边第一项代表流体质点在真空中以初速v铅直向上运动所能达到的高度,称为速度头；第二项代表流体质点在流线上所处的位置,称为位势头；第三项相当于液柱底面压力为p时液柱的高度,称为压力头.按照方程(3),速度头、位势头和压力头之和沿流线不变,说明总水头线是一水平直线（图1）.由方程(2)可见,当势能可忽略或沿流线势能相等时,速度增大将导致压力减小；反过来,速度减小将导致压力增大.对于可压缩绝热完全气体,伯努利定理在重力可忽略时具有如下形式：, (4)
式中γ=cp/cV为比热比,cp、cV分别为定压比热和定容比热.和不可压缩情形相比,总能量中增加了内能,加上压力能p/ρ后给出单位质量流体的焓T,式中T为流体的热力学温度.
若运动是无旋的,则运动方程具有另一个第一积分：,(5)
式中ф为速度势,由公式=墷ф 给出.f(t)为时间t的待定函数,对于某一固定时刻,f(t)在整个流场中取同一常数值,这和方程（1）只在流线上才取同一数值显然不同.方程(5)称为非定常的伯努利定理或拉格朗日积分.新增加的项 可解释为单位质量的流体由静止变为瞬态流动时所需冲压的时间变化率.如果运动不但无旋而且还是定常的,则方程(5)简化为：, (6)
式中C在流场内各点和各个时刻均取同一常数值.流体的总能量时时处处都是相同的.
实际应用
如果流管的横截面积沿流动方向缓变,则在工程应用中常常对流管的平均速度和平均压力应用伯努利定理.采用这样的近似处理再加上流管的连续性方程常常能够非常简单地得到一些有用的结果.
