两个暴麻烦的积分凑一起了!
原式=∫ √(1+x²) dx+∫[1/(x^4+1)] dx
先看前半部分,显然换元法
令x=tanu,则√(1+x²)=secu,dx=d(tanu)
∫ √(1+x²) dx=∫sec³udu
=∫ secud(tanu)=tanu*secu-∫tanud(secu)=tanu*secu-∫tan²u*secu du
=tanu*secu-∫sin²u/cos³u du
=tanu*secu-∫(1-cos²u)/cos³u du
=tanu*secu-∫sec³u du+∫secu du
∴∫sec³udu=(1/2)(tanu*secu+∫secu du)=(1/2)(tanu*secu+ln|tanu+secu|+C)
=(1/2){[x√(1+x²)]+ln|x+√(1+x²)|}+C
再看后半部分
x^4+1=(x²+Ax+B)(x²+Cx+D)
用待定系数法可得
A=√2,C=-√2,B=D=1
故1/(x^4+1)=(ax+b)/(x²+√2x+1)+(cx+d)/(x²-√2x+1)+e
用待定系数法得到
a=√2/4,c=-√2/4,b=d=1/2,e=0
下面利用(lnx)'=1/x和(arctanx)'=1/(x^2+1)
比如前半个式子
∫[(√2/4)x+1/2]/(x²+√2x+1)]dx
=(√2/8)[∫(2x+√2)/(x²+√2x+1)dx+∫√2/(x²+√2x+1)dx
=(√2/8)[ln|x²+√2x+1|+2arctan(√2x+1)]+C
后半个式子方法相同
于是最后化简可得
∫1/(x^4+1)dx
=(√2/8)[ln|x²+√2x+1|-ln|x²-√2x+1|+2arctan(√2x+1)+2arctan(√2x-1)]+C
于是
原式=(1/2){[x√(1+x²)]+ln|x+√(1+x²)|}+(√2/8)[ln|x²+√2x+1|-ln|x²-√2x+1|+2arctan(√2x+1)+2arctan(√2x-1)]+C
