第一步
当n=1时,有(2+4)/2=3;
当n=2时,有(4+16)/2>3.
综上,有
当n=1时,不等式 (2^n+4^n)/2 >=3^n成立.
第二步
假设n=k时,不等式 (2^n+4^n)/2 >=3^n成立.
即(2^k+4^k)/2 >=3^k.
则n=k+1时,
[2^(k+1)+4^(k+1)]/2
=(2*2^k+4*4^k)/2
=(2*2^k+4^k+3*4^k)/2
=(2^k+4^k)/2+(3/2)*4^k.
由归纳假设,不等式 (2^k+4^k)/2 >=3^k成立.
又
4^k≥3^k.(此不等式 的成立也可用数学归纳法证明,或由指数函数的性质得到.略)
⇒(3/2)*4^k≥3^k
⇒(2^k+4^k)/2+(3/2)*4^k≥3^k+3^k=3^(k+1)
⇒[2^(k+1)+4^(k+1)]/2 ≥3^k+3^k=3^(k+1)
⇒n=k+1时,
不等式 (2^n+4^n)/2 >=3^n也成立.
∴对任意自然数N,不等式 (2^n+4^n)/2 >=3^n都成立.
附:
取对数法证明不等式4^k≥3^k.
∵4^k>0,3^k>0.k为正整数.
又4>3
⇒lg4>lg3
⇒klg4>klg3
⇒lg(4^k)>lg(3^k)
由y=lgx在定义域内为增函数
⇒4^k>3^k.
k=0时,4^k=3^k=1.
∴对任意自然数N,不等式4^k≥3^k都成立.
再问： (2*2^k+4^k+3*4^k)/2 =(2^k+4^k)/2+(3/2)*4^k. 那....(2*2^k 中的2到哪裡去呢??
再答： 则n=k+1时, [2^(k+1)+4^(k+1)]/2 =(2*2^k+4*4^k)/2 =(2*2^k+4^k+3*4^k)/2 =(2*2^k+4^k)/2+(3/2)*4^k. 由归纳假设,不等式 (2^k+4^k)/2 >=3^k成立. 又2^k>0 ⇒(2*2^k+4^k)/2+(3/2)*4^k =[(2^k+2^k+4^k)]/2+(3/2)*4^k >(2^k+4^k)/2+(3/2)*4^k. 而4^k≥3^k. (此不等式 的成立也可用数学归纳法证明,或由指数函数的性质得到.略) ⇒(3/2)*4^k≥3^k ⇒(2^k+4^k)/2+(3/2)*4^k≥3^k+3^k=3^(k+1) ⇒(2*2^k+4^k)/2+(3/2)*4^k>(2^k+4^k)/2+(3/2)*4^k≥3^k+3^k=3^(k+1) ⇒[2^(k+1)+4^(k+1)]/2 ≥3^k+3^k=3^(k+1) ⇒n=k+1时, 不等式 (2^n+4^n)/2 >=3^n也成立. ∴对任意自然数N,不等式 (2^n+4^n)/2 >=3^n都成立.
