竞赛题 已知角1=12° 角2=24° 角3=36° 角4=48° 求角5

你学了正余弦定理没?我的方法超级复杂,如果你没学过,那就是应该有比较简单的方法的,我要再想想.
再问： 我学了… 你说吧
再答： 设AC，BD交于点O, AD=AC=L, DC=m, AB=a, BC=b, AO=y, OB=x，现要求∠5据题意，∠1=12°，∠2=24°，etc.，所以我用数字代表该角等于12°的（）倍，eg.∠DAC=∠7=84°，（∠5是题中给出除外），所以∠DAC=∠DOA=∠7=84°，∠DBC=∠6=72°，∠DOC=∠8=96°(你既然参加竞赛，这些角度计算对你应该不难）应用正弦定理：⊿ADC中：L/sin4=m/sin7⊿AOD中：y/sin1=L/sin7⊿BOC中：x/sin2=(L-y)/sin6⊿BDC中：b/sin3=m/sin6⊿ABC中：a/sin2=b/sin5现将所有边长以m的函数表示，根据上述等式有：L=m*sin4/sin7y=m*(sin1*sin4)/(sin7)^2x=m*(sin2/sin6)(1-sin1/sin7)(sin4/sin7）b=m*sin3/sin6a=m*sin2*sin3/(sin5*sin6)⊿AOB中，应用余弦定理有：x*x=a*a+y*y-2aycos5将x,a,y的值（含m）代入此式（m可消去），得到：[(sin2/sin6)(1-sin1/sin7)(sin4/sin7)]^2 = [sin2*sin3/(sin5*sin6)]^2 + [(sin1*sin4)/(sin7)^2]^2 - 2[sin2*sin3/(sin5*sin6)][(sin1*sin4)/(sin7)^2]*cos5∠1,2,3,4,6,7,8都是已知角，只∠5未知，所以上式为：A = [B/(sin5*sin5)] - C*cos5/sin5, 其中A,B,C为可计算的常数，有sin5*sin5+cos5*cos5=1，所以：A = B[sin5*sin5+cos5*cos5/(sin5*sin5)] - C*cot5      =>A = B + Bcot5*cot5 - C*cot5最后化简成关于cot5的一元二次方程：Bcot5*cot5 - C*cot5 + (B-A) = 0，A,B,C已知，可解。具体的值我没算，思路就是这样的。
再问： 恩，过程我看了，我算算试试，大清早的麻烦你了，不过老师说这道题很有意思，所以应该不会这么麻烦，希望你能再帮忙想想
再问： 恩，过程我看了，我算算试试，大清早的麻烦你了，不过老师说这道题很有意思，所以应该不会这么麻烦，希望你能再帮忙想想
再答： 嗯，我找到一个稍微简单的办法：设∠ABD=p, 同样用正弦定理： L/sin(6+p)=a/sin2, L/sinp=a/sin1, 以上两式相除： sin2/sin1=sin(6+p)/sinp => 2cos1=sin6*cotp+cos6 => cotp=(2cos1-cos6)/sin6 计算器算出p刚好等于30°(嗯30°应该不用计算器，我偷懒了^^)， 即p=30°=2.5, 所以∠5=7-2.5=4.5=54°