大学数学题（急）F（x)的2阶导数存在.F（0）=F（1）证明在（0,1）存在a使得2倍的F（a)的一阶导数等于（1-a

F''(x)
F(0）=F(1）
2F'(a)=(1-a)F''(a) (0,1)
∵F(0）=F(1）
根据罗尔中值定理,在(0,1)之间至少存在一点ξ,使得F'(ξ)=0.
令：G(x)=(1-x)F'(x),则G'(x)=(1-x)F''(x)-F'(x)
∵G(1)=F'(1)(1-1)=0；G(ξ)=F'(ξ)(1-ξ)=0,
∴由罗尔中值定理可知,在(ξ,1)之间至少存在一点a,使得G'(a)=0.
即：G'(a)=(1-a)F''(a)-F'(a)=0,
亦即：F'(a)=(1-a)F''(a).