问题描述：
数学函数知识点总结
问题解答：
我来补答
数学函数知识点总结
1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”.
中元素各表示什么?
A表示函数y=lgx的定义域,B表示的是值域,而C表示的却是函数上的点的轨迹
2 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况
注重借助于数轴和文氏图解集合问题.
空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集.
显然,这里很容易解出A={-1,3}.而B最多只有一个元素.故B只能是-1或者3.根据条件,可以得到a=-1,a=1/3. 但是, 这里千万小心,还有一个B为空集的情况,也就是a=0,不要把它搞忘记了.
3. 注意下列性质：
要知道它的来历：若B为A的子集,则对于元素a1来说,有2种选择（在或者不在）.同样,对于元素a2, a3,……an,都有2种选择,所以,总共有种选择, 即集合A有个子集.
当然,我们也要注意到,这种情况之中,包含了这n个元素全部在何全部不在的情况,故真子集个数为,非空真子集个数为
（3）德摩根定律：
有些版本可能是这种写法,遇到后要能够看懂
4. 你会用补集思想解决问题吗?（排除法、间接法）
的取值范围.
\x09
注意,有时候由集合本身就可以得到大量信息,做题时不要错过； 如告诉你函数f(x)=ax2+bx+c(a>0) 在上单调递减,在上单调递增,就应该马上知道函数对称轴是x=1.或者,我说在上 ,也应该马上可以想到m,n实际上就是方程 的2个根
5、熟悉命题的几种形式、
命题的四种形式及其相互关系是什么?
（互为逆否关系的命题是等价命题.）
原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假.
6、熟悉充要条件的性质（高考经常考）
满足条件,满足条件,
若 ；则是的充分非必要条件；
若 ；则是的必要非充分条件；
若 ；则是的充要条件；
若 ；则是的既非充分又非必要条件；
7. 对映射的概念了解吗?映射f：A→B,是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射?
（一对一,多对一,允许B中有元素无原象.）
注意映射个数的求法.如集合A中有m个元素,集合B中有n个元素,则从A到B的映射个数有nm个.
如：若,；问：到的映射有 个,到的映射有 个；到的函数有 个,若,则到的一一映射有 个.
函数的图象与直线交点的个数为 个.\x09
8. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同?
（定义域、对应法则、值域）
相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)
9. 求函数的定义域有哪些常见类型?
函数定义域求法：\x09
分式中的分母不为零；
偶次方根下的数（或式）大于或等于零；
指数式的底数大于零且不等于一；
对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零.
正切函数
余切函数
反三角函数的定义域
函数y＝arcsinx的定义域是 [－1, 1] ,值域是,函数y＝arccosx的定义域是 [－1, 1] ,值域是 [0, π] ,函数y＝arctgx的定义域是 R ,值域是.,函数y＝arcctgx的定义域是 R ,值域是 (0, π) .
当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时,先分别求出满足每一个条件的自变量的范围,再取他们的交集,就得到函数的定义域.
10. 如何求复合函数的定义域?
义域是_____________.
复合函数定义域的求法：已知的定义域为,求的定义域,可由解出x的范围,即为的定义域.
例 若函数的定义域为,则的定义域为 .
分析：由函数的定义域为可知：；所以中有.
依题意知：
解之,得
∴ 的定义域为
11、函数值域的求法
1、直接观察法
对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到.
例 求函数y=的值域
2、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一.
例、求函数y=-2x+5,x[-1,2]的值域.
3、判别式法
对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用,但这类题型有时也可以用其他方法进行化简,不必拘泥在判别式上面
下面,我把这一类型的详细写出来,希望大家能够看懂
4、反函数法
直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域.
例 求函数y=值域.
5、函数有界性法
直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域.我们所说的单调性,最常用的就是三角函数的单调性.
例 求函数y=,的值域.
6、函数单调性法
通常和导数结合,是最近高考考的较多的一个内容
例求函数y=（2≤x≤10）的值域
7、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角
函数公式模型.换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发
挥作用.
例 求函数y=x+的值域.
8 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这
类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目.
例：已知点P（x.y）在圆x2+y2=1上,
例求函数y=+的值域.
原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣
上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2）,B（-8）间的距离之和.
由上图可知：当点P在线段AB上时,
y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10
当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时,
y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10
故所求函数的值域为：[10,+∞）
例求函数y=+ 的值域
原函数可变形为：y=+
\x09
上式可看成x轴上的点P（x,0）到两定点A（3,2）,B（-2,-1）的距离之和,
由图可知当点P为线段与x轴的交点时, y=∣AB∣==,
故所求函数的值域为[,+∞）.
注：求两距离之和时,要将函数
9 、不等式法
利用基本不等式a+b≥2,a+b+c≥3（a,b,c∈）,求函数的最值,其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧.
例：
倒数法
有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发现另一番境况
例 求函数y=的值域
多种方法综合运用
总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法.
12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗?
切记：做题,特别是做大题时, 一定要注意附加条件,如定义域、单位等东西要记得协商,不要犯我当年的错误,与到手的满分失之交臂
13. 反函数存在的条件是什么?
（一一对应函数）
求反函数的步骤掌握了吗?
（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）
\x09\x09\x09
在更多时候,反函数的求法只是在选择题中出现,这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便.请看这个例题：
(2004.全国理)函数的反函数是（ B ）
\x09A．y=x2－2x+2(x=1,则反函数定义域为x>=1, 答案为B.
我题目已经做完了, 好像没有动笔（除非你拿来写*书）.思路能不能明白呢?
14. 反函数的性质有哪些?
反函数性质：
反函数的定义域是原函数的值域 （可扩展为反函数中的x对应原函数中的y）
反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y对应原函数中的x）
反函数的图像和原函数关于直线=x对称（难怪点（x,y）和点（y,x）关于直线y=x对称
①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；
②保存了原来函数的单调性、奇函数性；
由反函数的性质,可以快速的解出很多比较麻烦的题目,如
（04. 上海春季高考）已知函数,则方程的解__________.
15 . 如何用定义证明函数的单调性?
（取值、作差、判正负）
判断函数单调性的方法有三种：(1)定义法：
根据定义,设任意得x1,x2,找出f(x1),f(x2)之间的大小关系
可以变形为求的正负号或者与1的关系
(2)参照图象：①若函数f(x)的图象关于点(a,b)对称,函数f(x)在关于点(a,0)的对称区间具有相同的单调性； （特例：奇函数）②若函数f(x)的图象关于直线x＝a对称,则函数f(x)在关于点(a,0)的对称区间里具有相反的单调性.（特例：偶函数）(3)利用单调函数的性质：①函数f(x)与f(x)＋c(c是常数)是同向变化的②函数f(x)与cf(x)(c是常数),当c＞0时,它们是同向变化的；当c＜0时,它们是反向变化的.③如果函数f1(x),f2(x)同向变化,则函数f1(x)＋f2(x)和它们同向变化；（函数相加）④如果正值函数f1(x),f2(x)同向变化,则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数f1(2)与f2(x)同向变化,则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘）⑤函数f(x)与在f(x)的同号区间里反向变化.⑥若函数u＝φ(x),x[α,β]与函数y＝F(u),u∈[φ(α),φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]同向变化,则在[α,β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递增的；若函数u＝φ(x),x[α,β]与函数y＝F(u),u∈[φ(α),φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]反向变化,则在[α,β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递减的.（同增异减）⑦若函数y＝f(x)是严格单调的,则其反函数x＝f－1(y)也是严格单调的,而且,它们的增减性相同.
f(g)\x09g(x)\x09f[g(x)]\x09f(x)+g(x)\x09f(x)*g(x) 都是正数
增\x09增\x09增\x09增\x09增
增\x09减\x09减\x09/\x09/
减\x09增\x09减\x09/\x09/
减\x09减\x09增\x09减\x09减
∴……）
16. 如何利用导数判断函数的单调性?
值是（ ）
A. 0\x09\x09\x09B. 1\x09\x09\x09C. 2\x09\x09\x09D. 3
∴a的最大值为3）
17. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么?
（f(x)定义域关于原点对称）
注意如下结论：
（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数.
\x09
判断函数奇偶性的方法
定义域法
一个函数是奇（偶）函数,其定义域必关于原点对称,它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称,则函数为非奇非偶函数.
奇偶函数定义法
在给定函数的定义域关于原点对称的前提下,计算,然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.
复合函数奇偶性
f(g)\x09g(x)\x09f[g(x)]\x09f(x)+g(x)\x09f(x)*g(x)
奇\x09奇\x09奇\x09奇\x09偶
奇\x09偶\x09偶\x09非奇非偶\x09奇
偶\x09奇\x09偶\x09非奇非偶\x09奇
偶\x09偶\x09偶\x09偶\x09偶
18. 你熟悉周期函数的定义吗?
函数,T是一个周期.）
我们在做题的时候,经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来,这时说这个函数周期2t. 推导：,
同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思：函数f(x)关于直线对称, 对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到.比如,f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称.
如：
19. 你掌握常用的图象变换了吗?
联想点（x,y）,(-x,y)
联想点（x,y）,(x,-y)
联想点（x,y）,(-x,-y)
联想点（x,y）,(y,x)
联想点（x,y）,(2a-x,y)
联想点（x,y）,(2a-x,0)
（这是书上的方法,虽然我从来不用, 但可能大家接触最多,我还是写出来吧.对于这种题目,其实根本不用这么麻烦.你要判断函数y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)得到,可以直接令y-b=0,x+a=0,画出点的坐标. 看点和原点的关系,就可以很直观的看出函数平移的轨迹了.）
注意如下“翻折”变换：
\x09
19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗?
\x09(k为斜率,b为直线与y轴的交点)
的双曲线.
\x09
应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程
②求闭区间［m,n］上的最值.
\x09
③求区间定（动）,对称轴动（定）的最值问题.
④一元二次方程根的分布问题.
\x09
由图象记性质! （注意底数的限定!）
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么?（均值不等式一定要注意等号成立的条件）
20. 你在基本运算上常出现错误吗?
21. 如何解抽象函数问题?
（赋值法、结构变换法）
\x09
（对于这种抽象函数的题目,其实简单得都可以直接用死记了
代y=x,
令x=0或1来求出f(0)或f(1)
求奇偶性,令y=—x；求单调性：令x+y=x1
几类常见的抽象函数
正比例函数型的抽象函数
f（x）＝kx（k≠0）---------------f（x±y）＝f（x）±f（y）
幂函数型的抽象函数
f（x）＝xa----------------f（xy）＝ f（x）f（y）；f（）＝
指数函数型的抽象函数
f（x）＝ax------------------- f（x＋y）＝f（x）f（y）；f（x－y）＝
对数函数型的抽象函数
f（x）＝logax（a>0且a≠1）-----f（x·y）＝f（x）＋f（y）；f（）＝ f（x）－f（y）
三角函数型的抽象函数
f（x）＝tgx-------------------------- f（x＋y）＝
f（x）＝cotx------------------------ f（x＋y）＝
例1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）,且当x>0时,f(x)>0,f(－1)＝ －2求f(x)在区间[－2,1]上的值域.
分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（注意到f（x2）＝f[（x2－x1）＋x1]＝f（x2－x1）＋f（x1））；再根据区间求其值域.
例2已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y）,且当x>0时,f(x)>2,f(3)＝ 5,求不等式 f（a2－2a－2）0,x∈N；②f（a＋b）＝ f（a）f（b）,a、b∈N；③f（2）＝4.同时成立?若存在,求出f（x）的解析式,若不存在,说明理由.
分析：先猜出f（x）＝2x；再用数学归纳法证明.
例6设f（x）是定义在（0,＋∞）上的单调增函数,满足f（x·y）＝f（x）＋f（y）,f（3）＝1,求：
f（1）；
若f（x）＋f（x－8）≤2,求x的取值范围.
分析：（1）利用3＝1×3；
（2）利用函数的单调性和已知关系式.
例7设函数y＝ f（x）的反函数是y＝g（x）.如果f（ab）＝f（a）＋f（b）,那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正确,试说明理由.
分析：设f（a）＝m,f（b）＝n,则g（m）＝a,g（n）＝b,
进而m＋n＝f（a）＋f（b）＝ f（ab）＝f [g（m）g（n）]….
例8已知函数f（x）的定义域关于原点对称,且满足以下三个条件：
x1、x2是定义域中的数时,有f（x1－x2）＝；
f（a）＝ －1（a＞0,a是定义域中的一个数）；
当0＜x＜2a时,f（x）＜0.
试问：
f（x）的奇偶性如何?说明理由；
在（0,4a）上,f（x）的单调性如何?说明理由.
分析：（1）利用f [－（x1－x2）]＝ －f [（x1－x2）],判定f（x）是奇函数；
先证明f（x）在（0,2a）上是增函数,再证明其在（2a,4a）上也是增函数.
对于抽象函数的解答题,虽然不可用特殊模型代替求解,但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题,对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此,针对不同的函数要进行适当变通,去寻求特殊模型,从而更好地解决抽象函数问题.
例9已知函数f（x）（x≠0）满足f（xy）＝f（x）＋f（y）,
求证：f（1）＝f（－1）＝0；
求证：f（x）为偶函数；
若f（x）在（0,＋∞）上是增函数,解不等式f（x）＋f（x－）≤0.
分析：函数模型为：f（x）＝loga|x|（a＞0）
先令x＝y＝1,再令x＝y＝ －1；
令y＝ －1；
由f（x）为偶函数,则f（x）＝f（|x|）.
例10已知函数f（x）对一切实数x、y满足f（0）≠0,f（x＋y）＝f（x）·f（y）,且当x＜0时,f（x）＞1,求证：
当x＞0时,0＜f（x）＜1；
f（x）在x∈R上是减函数.
分析：（1）先令x＝y＝0得f（0）＝1,再令y＝－x；
受指数函数单调性的启发：
由f（x＋y）＝f（x）f（y）可得f（x－y）＝,
进而由x1＜x2,有＝f（x1－x2）＞1.
练习题：
1.已知：f（x＋y）＝f（x）＋f（y）对任意实数x、y都成立,则（ ）
（A）f（0）＝0 （B）f（0）＝1
（C）f（0）＝0或1 （D）以上都不对
2. 若对任意实数x、y总有f（xy）＝f（x）＋f（y）,则下列各式中错误的是（ ）
（A）f（1）＝0 （B）f（）＝ f（x）
（C）f（）＝ f（x）－f（y） （D）f（xn）＝nf（x）（n∈N）
3.已知函数f（x）对一切实数x、y满足：f（0）≠0,f（x＋y）＝f（x）f（y）,且当x＜0时,f（x）＞1,则当x＞0时,f（x）的取值范围是（ ）
（A）（1,＋∞） （B）（－∞,1）
（C）（0,1） （D）（－1,＋∞）
4.函数f（x）定义域关于原点对称,且对定义域内不同的x1、x2都有
f（x1－x2）＝,则f（x）为（ ）
（A）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数
（C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数
5.已知不恒为零的函数f（x）对任意实数x、y满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2[f（x）＋f（y）],则函数f（x）是（ ）
（A）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数
（C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数
参考答案：
1．A 2．B 3 ．C 4．A 5．B
23. 你记得弧度的定义吗?能写出圆心角为α,半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗?
\x09(和三角形的面积公式很相似, 可以比较记忆.要知道圆锥展开图面积的求法)
1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”.
中元素各表示什么?
A表示函数y=lgx的定义域,B表示的是值域,而C表示的却是函数上的点的轨迹
2 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况
注重借助于数轴和文氏图解集合问题.
空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集.
显然,这里很容易解出A={-1,3}.而B最多只有一个元素.故B只能是-1或者3.根据条件,可以得到a=-1,a=1/3. 但是, 这里千万小心,还有一个B为空集的情况,也就是a=0,不要把它搞忘记了.
3. 注意下列性质：
要知道它的来历：若B为A的子集,则对于元素a1来说,有2种选择（在或者不在）.同样,对于元素a2, a3,……an,都有2种选择,所以,总共有种选择, 即集合A有个子集.
当然,我们也要注意到,这种情况之中,包含了这n个元素全部在何全部不在的情况,故真子集个数为,非空真子集个数为
（3）德摩根定律：
有些版本可能是这种写法,遇到后要能够看懂
4. 你会用补集思想解决问题吗?（排除法、间接法）
的取值范围.
\x09
注意,有时候由集合本身就可以得到大量信息,做题时不要错过； 如告诉你函数f(x)=ax2+bx+c(a>0) 在上单调递减,在上单调递增,就应该马上知道函数对称轴是x=1.或者,我说在上 ,也应该马上可以想到m,n实际上就是方程 的2个根
5、熟悉命题的几种形式、
命题的四种形式及其相互关系是什么?
（互为逆否关系的命题是等价命题.）
原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假.
6、熟悉充要条件的性质（高考经常考）
满足条件,满足条件,
若 ；则是的充分非必要条件；
若 ；则是的必要非充分条件；
若 ；则是的充要条件；
若 ；则是的既非充分又非必要条件；
7. 对映射的概念了解吗?映射f：A→B,是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射?
（一对一,多对一,允许B中有元素无原象.）
注意映射个数的求法.如集合A中有m个元素,集合B中有n个元素,则从A到B的映射个数有nm个.
如：若,；问：到的映射有 个,到的映射有 个；到的函数有 个,若,则到的一一映射有 个.
函数的图象与直线交点的个数为 个.\x09
8. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同?
（定义域、对应法则、值域）
相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)
9. 求函数的定义域有哪些常见类型?
函数定义域求法：\x09
分式中的分母不为零；
偶次方根下的数（或式）大于或等于零；
指数式的底数大于零且不等于一；
对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零.
正切函数
余切函数
反三角函数的定义域
函数y＝arcsinx的定义域是 [－1, 1] ,值域是,函数y＝arccosx的定义域是 [－1, 1] ,值域是 [0, π] ,函数y＝arctgx的定义域是 R ,值域是.,函数y＝arcctgx的定义域是 R ,值域是 (0, π) .
当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时,先分别求出满足每一个条件的自变量的范围,再取他们的交集,就得到函数的定义域.
10. 如何求复合函数的定义域?
义域是_____________.
复合函数定义域的求法：已知的定义域为,求的定义域,可由解出x的范围,即为的定义域.
例 若函数的定义域为,则的定义域为 .
分析：由函数的定义域为可知：；所以中有.
依题意知：
解之,得
∴ 的定义域为
11、函数值域的求法
1、直接观察法
对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到.
例 求函数y=的值域
2、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一.
例、求函数y=-2x+5,x[-1,2]的值域.
3、判别式法
对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用,但这类题型有时也可以用其他方法进行化简,不必拘泥在判别式上面
下面,我把这一类型的详细写出来,希望大家能够看懂
4、反函数法
直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域.
例 求函数y=值域.
5、函数有界性法
直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域.我们所说的单调性,最常用的就是三角函数的单调性.
例 求函数y=,的值域.
6、函数单调性法
通常和导数结合,是最近高考考的较多的一个内容
例求函数y=（2≤x≤10）的值域
7、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角
函数公式模型.换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发
挥作用.
例 求函数y=x+的值域.
8 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这
类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目.
例：已知点P（x.y）在圆x2+y2=1上,
例求函数y=+的值域.
原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣
上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2）,B（-8）间的距离之和.
由上图可知：当点P在线段AB上时,
y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10
当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时,
y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10
故所求函数的值域为：[10,+∞）
例求函数y=+ 的值域
原函数可变形为：y=+
\x09
上式可看成x轴上的点P（x,0）到两定点A（3,2）,B（-2,-1）的距离之和,
由图可知当点P为线段与x轴的交点时, y=∣AB∣==,
故所求函数的值域为[,+∞）.
注：求两距离之和时,要将函数
9 、不等式法
利用基本不等式a+b≥2,a+b+c≥3（a,b,c∈）,求函数的最值,其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧.
例：
倒数法
有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发现另一番境况
例 求函数y=的值域
多种方法综合运用
总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法.
12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗?
切记：做题,特别是做大题时, 一定要注意附加条件,如定义域、单位等东西要记得协商,不要犯我当年的错误,与到手的满分失之交臂
13. 反函数存在的条件是什么?
（一一对应函数）
求反函数的步骤掌握了吗?
（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）
\x09\x09\x09
在更多时候,反函数的求法只是在选择题中出现,这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便.请看这个例题：
(2004.全国理)函数的反函数是（ B ）
\x09A．y=x2－2x+2(x=1,则反函数定义域为x>=1, 答案为B.
我题目已经做完了, 好像没有动笔（除非你拿来写*书）.思路能不能明白呢?
14. 反函数的性质有哪些?
反函数性质：
反函数的定义域是原函数的值域 （可扩展为反函数中的x对应原函数中的y）
反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y对应原函数中的x）
反函数的图像和原函数关于直线=x对称（难怪点（x,y）和点（y,x）关于直线y=x对称
①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；
②保存了原来函数的单调性、奇函数性；
由反函数的性质,可以快速的解出很多比较麻烦的题目,如
（04. 上海春季高考）已知函数,则方程的解__________.
15 . 如何用定义证明函数的单调性?
（取值、作差、判正负）
判断函数单调性的方法有三种：(1)定义法：
根据定义,设任意得x1,x2,找出f(x1),f(x2)之间的大小关系
可以变形为求的正负号或者与1的关系
(2)参照图象：①若函数f(x)的图象关于点(a,b)对称,函数f(x)在关于点(a,0)的对称区间具有相同的单调性； （特例：奇函数）②若函数f(x)的图象关于直线x＝a对称,则函数f(x)在关于点(a,0)的对称区间里具有相反的单调性.（特例：偶函数）(3)利用单调函数的性质：①函数f(x)与f(x)＋c(c是常数)是同向变化的②函数f(x)与cf(x)(c是常数),当c＞0时,它们是同向变化的；当c＜0时,它们是反向变化的.③如果函数f1(x),f2(x)同向变化,则函数f1(x)＋f2(x)和它们同向变化；（函数相加）④如果正值函数f1(x),f2(x)同向变化,则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数f1(2)与f2(x)同向变化,则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘）⑤函数f(x)与在f(x)的同号区间里反向变化.⑥若函数u＝φ(x),x[α,β]与函数y＝F(u),u∈[φ(α),φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]同向变化,则在[α,β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递增的；若函数u＝φ(x),x[α,β]与函数y＝F(u),u∈[φ(α),φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]反向变化,则在[α,β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递减的.（同增异减）⑦若函数y＝f(x)是严格单调的,则其反函数x＝f－1(y)也是严格单调的,而且,它们的增减性相同.
f(g)\x09g(x)\x09f[g(x)]\x09f(x)+g(x)\x09f(x)*g(x) 都是正数
增\x09增\x09增\x09增\x09增
增\x09减\x09减\x09/\x09/
减\x09增\x09减\x09/\x09/
减\x09减\x09增\x09减\x09减
∴……）
16. 如何利用导数判断函数的单调性?
值是（ ）
A. 0\x09\x09\x09B. 1\x09\x09\x09C. 2\x09\x09\x09D. 3
∴a的最大值为3）
17. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么?
（f(x)定义域关于原点对称）
注意如下结论：
（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数.
\x09
判断函数奇偶性的方法
定义域法
一个函数是奇（偶）函数,其定义域必关于原点对称,它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称,则函数为非奇非偶函数.
奇偶函数定义法
在给定函数的定义域关于原点对称的前提下,计算,然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.
复合函数奇偶性
f(g)\x09g(x)\x09f[g(x)]\x09f(x)+g(x)\x09f(x)*g(x)
奇\x09奇\x09奇\x09奇\x09偶
奇\x09偶\x09偶\x09非奇非偶\x09奇
偶\x09奇\x09偶\x09非奇非偶\x09奇
偶\x09偶\x09偶\x09偶\x09偶
18. 你熟悉周期函数的定义吗?
函数,T是一个周期.）
我们在做题的时候,经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来,这时说这个函数周期2t. 推导：,
同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思：函数f(x)关于直线对称, 对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到.比如,f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称.
如：
19. 你掌握常用的图象变换了吗?
联想点（x,y）,(-x,y)
联想点（x,y）,(x,-y)
联想点（x,y）,(-x,-y)
联想点（x,y）,(y,x)
联想点（x,y）,(2a-x,y)
联想点（x,y）,(2a-x,0)
（这是书上的方法,虽然我从来不用, 但可能大家接触最多,我还是写出来吧.对于这种题目,其实根本不用这么麻烦.你要判断函数y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)得到,可以直接令y-b=0,x+a=0,画出点的坐标. 看点和原点的关系,就可以很直观的看出函数平移的轨迹了.）
注意如下“翻折”变换：
\x09
19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗?
\x09(k为斜率,b为直线与y轴的交点)
的双曲线.
\x09
应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程
②求闭区间［m,n］上的最值.
\x09
③求区间定（动）,对称轴动（定）的最值问题.
④一元二次方程根的分布问题.
\x09
由图象记性质! （注意底数的限定!）
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么?（均值不等式一定要注意等号成立的条件）
20. 你在基本运算上常出现错误吗?
21. 如何解抽象函数问题?
（赋值法、结构变换法）
\x09
（对于这种抽象函数的题目,其实简单得都可以直接用死记了
代y=x,
令x=0或1来求出f(0)或f(1)
求奇偶性,令y=—x；求单调性：令x+y=x1
几类常见的抽象函数
正比例函数型的抽象函数
f（x）＝kx（k≠0）---------------f（x±y）＝f（x）±f（y）
幂函数型的抽象函数
f（x）＝xa----------------f（xy）＝ f（x）f（y）；f（）＝
指数函数型的抽象函数
f（x）＝ax------------------- f（x＋y）＝f（x）f（y）；f（x－y）＝
对数函数型的抽象函数
f（x）＝logax（a>0且a≠1）-----f（x·y）＝f（x）＋f（y）；f（）＝ f（x）－f（y）
三角函数型的抽象函数
f（x）＝tgx-------------------------- f（x＋y）＝
f（x）＝cotx------------------------ f（x＋y）＝
例1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）,且当x>0时,f(x)>0,f(－1)＝ －2求f(x)在区间[－2,1]上的值域.
分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（注意到f（x2）＝f[（x2－x1）＋x1]＝f（x2－x1）＋f（x1））；再根据区间求其值域.
例2已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y）,且当x>0时,f(x)>2,f(3)＝ 5,求不等式 f（a2－2a－2）0,x∈N；②f（a＋b）＝ f（a）f（b）,a、b∈N；③f（2）＝4.同时成立?若存在,求出f（x）的解析式,若不存在,说明理由.
分析：先猜出f（x）＝2x；再用数学归纳法证明.
例6设f（x）是定义在（0,＋∞）上的单调增函数,满足f（x·y）＝f（x）＋f（y）,f（3）＝1,求：
f（1）；
若f（x）＋f（x－8）≤2,求x的取值范围.
分析：（1）利用3＝1×3；
（2）利用函数的单调性和已知关系式.
例7设函数y＝ f（x）的反函数是y＝g（x）.如果f（ab）＝f（a）＋f（b）,那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正确,试说明理由.
分析：设f（a）＝m,f（b）＝n,则g（m）＝a,g（n）＝b,
进而m＋n＝f（a）＋f（b）＝ f（ab）＝f [g（m）g（n）]….
例8已知函数f（x）的定义域关于原点对称,且满足以下三个条件：
x1、x2是定义域中的数时,有f（x1－x2）＝；
f（a）＝ －1（a＞0,a是定义域中的一个数）；
当0＜x＜2a时,f（x）＜0.
试问：
f（x）的奇偶性如何?说明理由；
在（0,4a）上,f（x）的单调性如何?说明理由.
分析：（1）利用f [－（x1－x2）]＝ －f [（x1－x2）],判定f（x）是奇函数；
先证明f（x）在（0,2a）上是增函数,再证明其在（2a,4a）上也是增函数.
对于抽象函数的解答题,虽然不可用特殊模型代替求解,但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题,对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此,针对不同的函数要进行适当变通,去寻求特殊模型,从而更好地解决抽象函数问题.
例9已知函数f（x）（x≠0）满足f（xy）＝f（x）＋f（y）,
求证：f（1）＝f（－1）＝0；
求证：f（x）为偶函数；
若f（x）在（0,＋∞）上是增函数,解不等式f（x）＋f（x－）≤0.
分析：函数模型为：f（x）＝loga|x|（a＞0）
先令x＝y＝1,再令x＝y＝ －1；
令y＝ －1；
由f（x）为偶函数,则f（x）＝f（|x|）.
例10已知函数f（x）对一切实数x、y满足f（0）≠0,f（x＋y）＝f（x）·f（y）,且当x＜0时,f（x）＞1,求证：
当x＞0时,0＜f（x）＜1；
f（x）在x∈R上是减函数.
分析：（1）先令x＝y＝0得f（0）＝1,再令y＝－x；
受指数函数单调性的启发：
由f（x＋y）＝f（x）f（y）可得f（x－y）＝,
进而由x1＜x2,有＝f（x1－x2）＞1.
练习题：
1.已知：f（x＋y）＝f（x）＋f（y）对任意实数x、y都成立,则（ ）
（A）f（0）＝0 （B）f（0）＝1
（C）f（0）＝0或1 （D）以上都不对
2. 若对任意实数x、y总有f（xy）＝f（x）＋f（y）,则下列各式中错误的是（ ）
（A）f（1）＝0 （B）f（）＝ f（x）
（C）f（）＝ f（x）－f（y） （D）f（xn）＝nf（x）（n∈N）
3.已知函数f（x）对一切实数x、y满足：f（0）≠0,f（x＋y）＝f（x）f（y）,且当x＜0时,f（x）＞1,则当x＞0时,f（x）的取值范围是（ ）
（A）（1,＋∞） （B）（－∞,1）
（C）（0,1） （D）（－1,＋∞）
4.函数f（x）定义域关于原点对称,且对定义域内不同的x1、x2都有
f（x1－x2）＝,则f（x）为（ ）
（A）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数
（C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数
5.已知不恒为零的函数f（x）对任意实数x、y满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2[f（x）＋f（y）],则函数f（x）是（ ）
（A）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数
（C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数
参考答案：
1．A 2．B 3 ．C 4．A 5．B
23. 你记得弧度的定义吗?能写出圆心角为α,半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗?
\x09(和三角形的面积公式很相似, 可以比较记忆.要知道圆锥展开图面积的求法)
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