2009年全国初中数学联赛决赛试题

192|(a^3+191)-192=a^3-1=(a-1)(a^2+a+1)
因为a^2+a+1=a(a+1)+1必定为奇数,而192=3*2^6
所以必定有2^6|(a-1),即a=64k+1
而3被a-1或者a^2+a+1整除
将a=64k+1代入
得到a-1≡k(mod3)或者a^2+a+1≡k^2(mod3)
不管哪种情况都能推出k被3整除,即k=3n
所以a=192n+1
这边假定a是非负的,那么有条件a