1.a＞b＞c,证明 1/(a-b) + 1/(b-c) + 1/(c-a) ＞0
因,a>b>c,
所以,a-b>0, b-c>0, a-c>0.
而,
(a-c)/(a-b) + (a-c)/(b-c) = [a-b+b-c]/(a-b) + [a-b+b-c]/(b-c)
= 1 + (b-c)/(a-b) + (a-b)/(b-c) + 1 > 1
因此,
1/(a-b) + 1/(b-c) > 1/(a-c),
1/(a-b) + 1/(b-c) + 1/(c-a) > 0
2.已经a＞0,b＞0 ,c>0. 求证：
1/a +1/b +1/c ≥ 2[1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a）]
对于任何正数u,都有
u + 1/u - 2 = [u^(1/2) - 1/u^(1/2)]^2 >= 0,
因此
u + 1/u >= 2.
所以,
(a+b)/a + (a+b)/b = 1 + b/a + a/b + 1 > 2 + (b/a) + 1/(b/a) > 4,
1/a + 1/b > 4/(a+b), ...(1)
同理,有,
1/b + 1/c > 4/(b+c), ...(2)
1/c + 1/a > 4/(c+a), ...(3)
(1)~(3)不等号2边分别相加,有
2[1/a + 1/b + 1/c] > 4[1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a)],
1/a + 1/b + 1/c > 2[1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a)]
3.正方形ABCD在直角坐标系内,已知其中一条边AB在直线y=x+4上,CD在抛物y^2=x上,求正方形ABCD的面积 （这个题目的正确答案是（98-16√33）或（98+16√33） 还是18或50呀?）
设点C,D的坐标分别为[u,u^2]和[v,v^2].u不等于v.
则因为向量CD // 直线y=x+4.
因此,有 u-v = u^2 - v^2,
u-v = (u-v)(u+v),
1 = u+v. ...(1)
点C,D之间的距离的平方为,
[u-v]^2 + [u^2 - v^2]^2 = [u-v]^2 + [(u-v)(u+v)]^2 = 2(u-v)^2
点C到直线y=x+4的距离的平方为,
(u^2 - u - 4)^2/2
点C,D之间的距离的平方应该和点C到直线y=x+4的距离的平方相等.
故,
2(u-v)^2 = (u^2 - u - 4)^2/2,
(u^2 - u - 4)^2 - 4(u-v)^2 = [u^2 - u - 4 + 2(u-v)][u^2 - u - 4 -2(u-v)] = [u^2 + u - 2v - 4][u^2 - 3u + 2v - 4] = 0
...(2)
将（1）带入（2）,有
[u^2 + u -2(1-u) - 4][u^2 -3u +2(1-u)-4] = [u^2 +3u-6][u^2 -5u -2] = 0
u^2 +3u-6 = 0, 或者,u^2 - 5u - 2 =0,
u = [-3 + (9+24)^(1/2)]/2 = [-3 + (33)^(1/2)]/2,
或者,u = [-3 - (33)^(1/2)]/2,
或者,u = [5 + (25+8)^(1/2)]/2 = [5 + (33)^(1/2)]/2,
或者,u = [5 - (33)^(1/2)]/2
由（1）,有
u - v = u - (1-u) = 2u - 1 = -4 + (33)^(1/2)
或者,u - v = -4 - (33)^(1/2),
或者,u - v = 4 + (33)^(1/2),
或者,u - v = 4 - (33)^(1/2).
点C,D之间的距离的平方为,
2(u-v)^2 = 2[-4 + (33)^(1/2)]^2
或者,2(u - v)^2 = 2[-4 - (33)^(1/2)]^2 = 2[4 + (33)^(1/2)]^2
或者,2(u - v)^2 = 2[4 + (33)^(1/2)]^2
或者,2(u - v)^2 = 2[4 - (33)^(1/2)]^2 = 2[-4 + (33)^(1/2)]^2.
而正方形ABCD的面积 = 点C,D之间的距离的平方,
因此,
正方形ABCD的面积为,
2[-4 + (33)^(1/2)]^2 = 2[49 - 8(33)^(1/2)] = 98 - 16(33)^(1/2)
或者,2[4 + (33)^(1/2)]^2 = 2[49 + 8(33)^(1/2)] = 98 + 16(33)^(1/2).
[这个题目的正确答案是（98-16√33）或（98+16√33）]
