高等代数作业一、 线性方程组的基础解系,不变子空间,线性变换的特征向量,线性空间的同构 二、 判断正误1.多项式f(x)

高等代数作业
一、
线性方程组的基础解系,不变子空间,线性变换的特征向量,线性空间的同构
二、 判断正误
1.多项式f(x)在数域F上是可约的,则f(x)在F上一定有根.
2.n维线性空间V上线性变换为数乘变换的充要条件是 的最小多项式的次数为1.
3.若 ,则 是f(x)的一个k 重根.
4.对无有理根的整系数多项式f(x)而言,一定存在素数p使p整数f(x)的除首项系数之外的一切系数.
5.n阶数字矩阵A为数乘矩阵的充要条件是A与任意的n阶可逆矩阵均乘积可换.
6.和 空间为子空间 的直和的充要条件是 ,i=1,2 ,…,r.
三、 计算题
1、求a,b使得 .
2、 判断3是不是多项式
的根,如果是的话,是几重根?
3、设 为数域F上的三维向量空间V的一个基,并且线性变换 关于该基的矩阵为 ,求Im( ),并在Im( )中取一基并把它扩充为V 的一个基,同时求出 在该基下的矩阵.
4、若V是有理数域上全体2阶方阵所组成的线性空间,且 是V上的线性变换满足 .取V的一个基为
,求 在该基下的矩阵.
四、 证明题
1.若齐次线性方程组AX=0的系数矩阵A是一个秩为r的 型矩阵,则AX=0的任意n-r线性无关的解向量都是AX=0的基础解系.
2.设 是数域F上线性空间V的线性变换,是V的 -子空间.求证：
1) V的如下两个子集都是V的 -子空间：
.
2) 若 ,且 可逆,则 .
3.证线性空间V的线性变换 为数乘变换的充要条件是V的每个非0向量都是 的特征向量.
五、 简答题
1、 多项式（整数）的最大公因式是否唯一?
2、 如何求出两个整数的最大公约数?如何求出多个整数的最大公约数?
3、 如何求出两个多项式的最大公因式?如何求出多个多项式的最大公因式?
4、 整数的最大公约数与整数之间有什么关系?
5、 多项式的最大公因式与多项式之间有什么关系?
6、 多项式的可约性、多项式的最大公因式、多项式的根那些与基础域有关?
7、 什么是对称多项式、初等对称多项式,他们之间有何关系?
8、 什么是多项式的典型分解式?
9、 一个多项式何时有重根,如何确定一个多项式的根的重数?
10、 互素的整数有些什么性质?
11、 互素的多项式有些什么性质?
12、 素数和不可约多项式有些什么共同性质?
13、 那种行列式的初等变换会改变行列式的值?
14、 什么叫做齐次线性方程组的解空间?基础解系与解空间的基有何关系?