牛顿在数学上的成果要有以下四个方面：
发现二项式定理
在一六六五年,刚好二十二岁的牛顿发现了二项式定理,这对於微积分的充分发展是必不可少的一步.二项式定理把能为直接计算所发现的
等简单结果推广如下的形式
二项式级数展开式是研究级数论、函数论、数学分析、方程理论的有力工具.在今天我们会发觉这个方法只适用於n是正整数,当n是正整数1,2,3,.,级数终止在正好是n＋1项.如果n不是正整数,级数就不会终止,这个方法就不适用了.但是我们要知道那时,莱布尼茨在一六九四年才引进函数这个词,在微积分早期阶段,研究超越函数时用它们的级来处理是所用方法中最逼有成效的.
创建微积分
牛顿在数学上最卓越的成就是创建微积分.他超越前人的功绩在於,他将古希腊以来求解无限小问题的各种特殊技巧统一为两类普遍的算法－－微分和积分,并确立了这两类运算的互逆关系,如：面积计算可以看作求切线的逆过程.
那时莱布尼兹刚好亦提出微积分研究报告,更因此引发了一埸微积分发明专利权的争论,直到莱氏去世才停熄.而后世己认定微积是他们同时发明的.
微积分方法上,牛顿所作出的极端重要的贡献是,他不但清楚地看到,而且大赡地运用了代数所提供的大大优越於几何的方法论.他以代数方法取代了卡瓦列里、格雷哥里、惠更斯和巴罗的几何方法,完成了积分的代数化.从此,数学逐渐从感觉的学科转向思维的学科.
微积产生的初期,由於还没有建立起巩固的理论基础,被有受别有用心者钻空子.更因此而引发了着名的第二次数学危机.这个问题直到十九世纪极限理论建立,才得到解决.
引进极坐标,发展三次曲线理论
牛顿对解析几何作出了意义深远的贡献,他是极坐标的创始人.第一个对高次平面曲线进行广泛的研究.牛顿证明了怎样能够把一般的三次方程
所代表的一切曲线通过标轴的变换化为以下四种形式之一：
在《三次曲线》一书牛顿列举了三次曲线可能的78种形式中的72种.这些中最吸引人；最难的是：正如所有曲线能作为圆的中心射影被得到一样；所有三次曲线都能作为曲线
的中心射影而得到.这一定理,在1973年发现其证明之前,一直是个谜.
牛顿的三次曲线奠定了研究高次平面线的基础,阐明了渐近线、结点、共点的重要性.牛顿的关於三次曲线的工作激发了关於高次平面曲线的许多其他研究工作.
推进方程论,开拓变分法
牛顿在代数方面也作芔了经典的贡献,他的《广义算术》大大推动了方程论.他发现实多项式的虚根必定成双出现,求多项式根的上界的规则,他以多项式的系数表示多项式的根n次幂之和公式,给出实多项式虚根个数的限制的笛卡儿符号规则的一个推广.
