1/2根号1+1根号2+1/3根号2+2根号3+.+1/100根号99+99根号100.

由1/（2√1+1√2）+1/（3√2+2√3）+1/（4√3+3√4）+...+1/（100√99+99√100）
=（2√1-1√2）/（2√1+1√2）（2√1-1√2）+（3√2-2√3）/（3√2+2√3）（3√2-2√3）
+（4√3-3√4）/（4√3+3√4）（4√3-3√4）+...+（100√99-99√100）/（100√99+99√100）（100√99-99√100）
=（2-√2）/1×2+（3√2-2√3）/2×3+（4√3-3√4）/3×4+...+（100√99-99√100）/99×100
=（1-√2/2）+（√2/2-√3/3)+(√3/3-√4/4)+...+（√99/99-√100/100）
=1-√100/100
=1-1/10
=9/10.