几道初二的奥数题（要过程）(答得好还可以追加）

问题描述：

几道初二的奥数题（要过程）(答得好还可以追加）
1、如图1,在三角形ABC中,若AB=AC,∠A=20°,∠MCB=60°,∠NBC=50°.
求证：∠NMC=30°
2、证明：若a是任意正奇数,则总存在两个整数x,y,使得5x²+11y²-1为a的倍数.
3、三兄弟带着西瓜到农贸市场去卖：第一个人带了10个,第二个人带了16个,第三个人带了26个.上午他们按同一价格卖出了若干个西瓜（按西瓜个数出售）.过了中午,怕卖不完,他们跌价把所剩的西瓜仍按统一价格卖掉了.回家后,他们清点了卖瓜款后发现,三人卖瓜所得的款一样多,每人都卖得35元,问他们的西瓜到底上、下午各按什么价格卖出的?
4、设a,b,c,d是非负整数,且（a+b)²+3a+2b=(c+d)²+3c+2d.求证：a=c,b=d
5、四边形ABCD中,AB=CB,∠A=∠C=90°,∠B=135°,K为AB上一点,N为BC上一点,若△BKN的周长等于AB的两倍.则∠KDN=?度（无图）
6、正方形OPQR内接于△ABC,O交于AB,PQ在底边交于BC,已知,S△AOR=1,S△BOP=3,S△CRQ=1,求证：正方形OPQR边长为2

1个回答分类：数学 2014-10-02

问题解答：

我来补答

1.在AC上取一点使AP=AM,BP与CM交于点Q
证△BCQ、△MPQ都是等边三角形
∴CQ=BC=CN
∴∠CNQ=80
∵∠BPC=40
∴∠PQN=∠CNQ-∠BPC=40
∴PN=QN
∴△MNP≌△MNQ
∴∠NMC=30
3.设上午价格为x,下午价格为y,则存在abc使
(10-a)x+ay=35
(16-b)x+by=35
(22-c)x+cy=35
可以解得x=35(b-a)÷(10b-16a)=35(c-a)÷(10c-26a)
y=35(b-a-6)÷(10b-16a)=35(c-a-16)÷(10c-26a)
于是5a=8b-3c
由x>y>0得b>1.6a且b-a>6
将全部1到9间正整数、1到15间正整数b、1到25间正整数c带入5a=8b-3c且b>1.6a且b-a>6,得a=1,b=10,c=25
x=3.75,y=1.25
4.∵（a+b)²+3a+2b=(c+d)²+3c+2d
∴(a+b+1)²+a=(c+d+1)²+c
若c+d>a+b
则c+d>=a+b+1
∴(a+b+1)²+a=(c+d+1)²+c>=(a+b+2)²+c=(a+b+1)²+2a+2b+3+c
∴a>=2a+2b+3+c
∴0>-a>=2b+3+c>0
矛盾
若c+d0
∴x=2,即正方形OPQR边长为2

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