A、B、C、D四点共圆,另一圆圆心在AB上,且与四边形ABCD其余三边都相切,求证：AD+BC=AB（AB和CD是对边）

这道题先画个图.设出来∠B和∠C.然后根据四点共圆说明对角和为180°.
因为圆心O向BC,CD,DA作的垂线的垂足设为E,F,G.那么∠EOF+∠C=180°.
∠FOG+∠B=180°.那么有∠EOF=∠A,∠FOG=∠D.
下面我设内切圆半径为r,一方面知道AB=AO+BO=r/sin∠A+r/sin∠D.
AD+BC=AG+GD+CF+EB而AG=rcot∠A,GD=rtan(1/2*∠D),CF=rtan(1/2*∠A),
EB=rcot∠D.这样用半角公式知道左边=右边.证毕.这是我直接的想法.
其实就是AO=AG+FC,BO=BE+DF.
当然可以转换成欧式几何的语言来说明,
将△OFC绕O点旋转,使得G与F'重合并且AG与旋转后的FC(F'C')在一条直线上.那么我们考虑△AOC',∠OC'A=90°-1/2*∠A那么有AO=AO=AG+FC.同理
BO=BE+DF.又由于DF=DG,CF=CE,所以有AB=AD+BC.