高一函数题,已知函数fx=x2+1,且gx=f[f(x)],G(x)=g(x)-a f(x),试问,是否存在实数a,使得

问题描述：

高一函数题,
已知函数fx=x2+1,且gx=f[f(x)],G(x)=g(x)-a f(x),试问,是否存在实数a,使得G（x）在（负无穷,-1]上为减函数,并且在（-1,0）上为增函数.
答案“假设存在实数a,使得G(x)在（－∞,－1 ]为减函数,在（-1,0）上为增函数.
f(x)=x²+1
g(x)=f[f(x)]=[f(x)]²+1=(x²+1)²+1=x^4+2x²+2
G(x)=g(x)-af(x)= x^4+2x²+2-a(x²+1)=x^4+(2-a)x²+2-a
函数G(x)可看作是由函数u=t²+(2-a)t+(2-a)与函数t=x²复合而成,
易知,函数t=x²在（－∞,0）上为减函数,
要使G(x)在（－∞,－1 ]为减函数,在（-1,0）上为增函数
则函数u=t²+(2-a)t+(2-a) 在（0,1）为减函数,在（1,＋∞）上为增函数
∴-(2-a)/2=1,
2-a= -2,
a=4,
故存在a=4,使得G(x)在（－∞,－1 ]为减函数,在（-1,0）上为增函数
为什么函数u在（0,1）为减函数,在（1,+oo）为增函数?求指教

1个回答分类：综合 2014-10-16

问题解答：

我来补答

注意这句话：函数G(x)可看作是由函数u=t²+(2-a)t+(2-a)与函数t=x²复合而成
函数t=x² 中 x在（－∞,-1）增大过程中,t在（+∞,1）减小,若函数u在（1,＋∞）上为增函数的话,则在（+∞,1）即为减函数（看定义域的变化方向）,最终推到G（x）中x在（－∞,-1）为减函数
再问：我是这样理解的，因为u的对称抽a-2除2，因为t≥0所以函数u定义域为0到正无穷，因为开口向上，所以0到a-2除2递减，a-2除2递增，复合函数不是要去两函数单调性的交集么，根据同增异减，所以推出不存在
再答：最终问的是Gx的单调性 x从-∞→-1 时 t从+∞→1 注意不是从1→+∞ 所以t函数（－∞→-1）递减，若控制u函数在+∞→1 递减（此时u函数1→+∞为增函数，注意定义域的变化方向），就可实现符合函数G（x）在-∞→-1 递减
再问：我想问的是，复合函数最终确定Gx的单调性是根据分开的两函数各自的单调性取交集决定的，而函数u的单调性是从0以后的区间开始的，在0之前的区间不存在单调性，那么交集就是空集，如何存在实数a？
再答：有电话么我打给你说

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