设函数g(x)=1/3 x^3+1/2 ax^2+bx+c(a,b∈R)的图像经过原点,在其图像上一点P(x,y)处的切

f(x)=g'(x) = (x³/3+ax²/2+bx)' = x²+ax+b
(1)
x²+ax+b=0有两个实根分别为-2和4
a=-(-2+4)=-2
b=-2×4=-8
∴f(x)=x²-2x-8
(2)
令f(x)=0的两根分别为x1、x2,且x1＜x2
即g(x)在x1、x2处取极值.
令f(x)≤0,则x1≤x≤x2
∴g(x)在[x1,x2]上单调递减.
∴[1,3]包含于[x1,x2]
∴f(1)≤1,f(3)≤0
即a+b+1≤0
3a+b+9≤0
上面表示的是一个区域!如图.
点A(a,b)为区域中的点,O为原点!
圆O以OA为半径
R=|OA|=√(a²+b²)
∴求a²+b²最小值,即求|OA|²最小值,即求R最小值
当圆O与直线3a+b+9=0相切时 (此时R最小)
R=|OA|=9/√10
∴(a²+b²)min=81/10
图在这,下下来看(右击另存为)：