问题描述：
如图,将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上,并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动,直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于点Q.设A、P两点间的距离为x
①当点Q在边CD上时,求证：PB＝PQ
②当点Q在边CD上,设四边形PBCQ为y,求y与x的函数解析式,并写出函数自变量的取值范围
③当点P在线段AC上滑动时,△PCQ是否可能成为等腰三角形?如果可能,指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置,并求出相应的x的值；如果不可能,试说明理由.
①当点Q在边CD上时,求证：PB＝PQ
②当点Q在边CD上,设四边形PBCQ为y,求y与x的函数解析式,并写出函数自变量的取值范围
③当点P在线段AC上滑动时,△PCQ是否可能成为等腰三角形?如果可能,指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置,并求出相应的x的值；如果不可能,试说明理由.
问题解答：
我来补答
①如图中①所示,通过点P做AD的平行线,分别交AB 、CD于M、N.
因为ABCD为正方形且边长为1,AC为对角线,所以MP=MA,因而MB=1-MA=1-MP=MN-MP=PN
在Rt△BPM和Rt△PQN中,且有PB⊥PQ,∠BPM+∠BPQ+∠QPN=180°
所以：∠BPM+∠QPN=90°所以∠BPM=∠PQN,∠PBM=∠QPN
综上,Rt△BPM≌Rt△PQN,因此：PB=PQ
②“设四边形PBCQ为y”?指的是四边形的面积还是边长?题目少打字了,
③先看图片中的②：
此时,Q点在CD上,很显然要构成等腰三角形,必须满足的有条件为：PQ=PC或者QP=QC或者CP=CQ
1、对于PQ=PC：因为∠PCQ=45°,所以∠PQC=45°,那么∠CPQ=90°,即CP⊥QP,而题目中有PB⊥PQ,PC与PB不可能重合,所以这个是不成立的.
2、QP=QC：同样因为∠PCQ=45°,所以∠CPQ=45°,那么∠PQC=90°,此时Q点与N点重合.由于PB⊥PQ,PB将平行于AB,矛盾,所以这个也是不成立的.
3、CP=CQ：则有∠CPQ=∠PQC.因为∠PCQ=45°,∠PQC明显大于90°为钝角,这种情况下不可能出现CP=CQ.
再看图片③：
注意题目中给出的是射线DC,所以Q点只能向这个方向.此时∠PCQ=135°,所以PQ≠PC,QP≠QC.唯一的可能是CQ=CP.
此时同样做BC的平行线分别交AB、CD于M、N.因为AP=x,所以PC=√2-x=CQ,NP=NC=(√2-x）/√2,那么NQ=NC+CQ=（√2-x）（1+1/√2）
而MP=1-PN=1-(√2-x）/√2,可以证明MP=NQ
所以解方程可得到x=1
因为ABCD为正方形且边长为1,AC为对角线,所以MP=MA,因而MB=1-MA=1-MP=MN-MP=PN
在Rt△BPM和Rt△PQN中,且有PB⊥PQ,∠BPM+∠BPQ+∠QPN=180°
所以：∠BPM+∠QPN=90°所以∠BPM=∠PQN,∠PBM=∠QPN
综上,Rt△BPM≌Rt△PQN,因此：PB=PQ
②“设四边形PBCQ为y”?指的是四边形的面积还是边长?题目少打字了,
③先看图片中的②：
此时,Q点在CD上,很显然要构成等腰三角形,必须满足的有条件为：PQ=PC或者QP=QC或者CP=CQ
1、对于PQ=PC：因为∠PCQ=45°,所以∠PQC=45°,那么∠CPQ=90°,即CP⊥QP,而题目中有PB⊥PQ,PC与PB不可能重合,所以这个是不成立的.
2、QP=QC：同样因为∠PCQ=45°,所以∠CPQ=45°,那么∠PQC=90°,此时Q点与N点重合.由于PB⊥PQ,PB将平行于AB,矛盾,所以这个也是不成立的.
3、CP=CQ：则有∠CPQ=∠PQC.因为∠PCQ=45°,∠PQC明显大于90°为钝角,这种情况下不可能出现CP=CQ.
再看图片③：
注意题目中给出的是射线DC,所以Q点只能向这个方向.此时∠PCQ=135°,所以PQ≠PC,QP≠QC.唯一的可能是CQ=CP.
此时同样做BC的平行线分别交AB、CD于M、N.因为AP=x,所以PC=√2-x=CQ,NP=NC=(√2-x）/√2,那么NQ=NC+CQ=（√2-x）（1+1/√2）
而MP=1-PN=1-(√2-x）/√2,可以证明MP=NQ
所以解方程可得到x=1
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