初中数学竞赛辅导资料（20）
代数恒等式的证明
甲内容提要
证明代数恒等式,在整式部分常用因式分解和乘法两种相反的恒等变形,要特别注意运用乘法公式和等式的运算法则、性质.
具体证法一般有如下几种
1．从左边证到右边或从右边证到左边,其原则是化繁为简.变形的过程中要不断注意结论的形式.
2．把左、右两边分别化简,使它们都等于第三个代数式.
3．证明：左边的代数式减去右边代数式的值等于零.即由左边－右边＝0可得左边＝右边.
4,由己知等式出发,经过恒等变形达到求证的结论.还可以把己知的条件代入求证的一边证它能达到另一边,
乙例题
例1求证：3 n+2－2 n＋2＋2×5 n+2＋3 n－2 n＝10（5 n+1+3 n－2 n-1）
证明：左边＝2×5×5 n+1＋（3 n+2+3 n）＋（－2 n+2 －2 n）
＝10×5 n+1＋3 n(32+1)－2 n-1(23＋2)
＝10（5 n+1+3 n－2 n-1）=右边
又证：左边＝2×5 n+2＋3 n（32＋1）－2 n(22+1)
＝2×5 n+2＋10×3 n－5×2 n
右边＝10×5 n+1+10×3 n－10×2 n-1
＝2×5 n+2＋10×3 n－5×2 n
∴左边＝右边
例2 己知:a+b+c=0 求证：a3+b3+c3=3abc
证明：∵a3+b3+c3－3abc＝（a+b+c）（a2+b2+c2－ab－ac－bc）(见19例1)
∵:a+b+c=0
∴a3+b3+c3－3abc＝0 即a3+b3+c3=3abc
又证：∵:a+b+c=0 ∴a=－（b+c）
两边立方 a3=－（b3+3b2c+3bc2+c3）
移项 a3＋b3+c3＝－3bc(b+c)＝3abc
再证：由己知 a=－b－c 代入左边,得
（－b－c）3+ b3+c3＝－（b3+3b2c+3bc2+c 3）+b3+c3
＝－3bc(b+c)=－3bc(－a)＝3abc
例3 己知a+ ,a≠b≠c 求证：a2b2c2=1
证明：由己知a-b= ∴bc=
b-c= ∴ca= 同理ab=
∴ab bc ca＝ ＝1 即a2b2c2=1
例4 己知:ax2+bx+c是一个完全平方式（a,b,c是常数）求证：b2－4ac=0
证明：设:ax2+bx+c＝（mx+n）2 ,m,n是常数
那么:ax2+bx+c＝m2x2+2mnx+n2
根据恒等式的性质 得 ∴:b2－4ac＝（2mn）2－4m2n2=0
丙练习20
1． 求证：①(a+b+c)2+(a+b-c)2－(a-b-c)2－(a-b-c)2＝8ab
②（x+y）4+x4+y4=2(x2+xy+y2)2 ③(x-2y)x3－(y-2x)y3=(x+y)(x-y)3
④3 n+2+5 n+2―3 n―5 n=24(5 n+3 n-1) ⑤a5n+a n+1=(a3 n－a2 n+1)(a2 n+a n+1)
2.己知：a2+b2=2ab 求证：a=b
3.己知：a+b+c=0
求证：①a3+a2c+b2c+b3=abc ②a4+b4+c4=2a2b2+2b2c2+2c2a2
4.己知：a2=a+1 求证：a5=5a+3
5.己知：x＋y－z=0 求证：x3+8y3=z3－6xyz
6.己知：a2+b2+c2=ab+ac+bc 求证：a=b=c
7.己知：a∶b=b∶c 求证：（a+b+c）2+a2+b2+c2=2(a+b+c)(a+c)
8.己知：abc≠0,ab+bc=2ac 求证：
9．己知：求证：x+y+z=0
10.求证：（2x－3）（2x+1）(x2－1)＋1是一个完全平方式
11己知：ax3+bx2+cx+d能被x2+p整除 求证：ad=bc
