不等式的证明和基本不等式

问题描述:

不等式的证明和基本不等式
1.设x=a2b2+5,y=2ab-a2-4a,若x>y,则实数a,b应满足条件______.
2.若正数a、b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是_______.
3.设a>0,b>0,2c>a+b,则c2与ab的大小关系是________.
4.已知“a>b,a-(1/a)>b-(1/b)”成立,则ab应满足的条件是________.
5.若P=根号(a+3)+根号(a+7),Q=2×根号(a+5),其中a≥-3,请用不等号连接:P_____Q.
请做出过程,可以不多,但关键步骤要写,你可以只回答你知道的.
1个回答 分类:数学 2014-09-26

问题解答:

我来补答
1、由x>y,得到:(ab)^2+5>2ab-a^2-4a;
移项得到:a^2+4a+4+(ab)^2-2ab+1>0;
所以:(a+2)^2+(ab-1)^2>0;说明平方项的两个底不能同时为零,即:
①a≠-2时,b可以取任意值;②a=-2时,b≠1/a即b≠-1/2;
∴a、b应满足的条件是a≠-2或b≠-1/2.
2、要把a+b和ab联系起来,就用到算术平均数大于等于几何平均数,即:
(a+b)/2≥√ab,(由(a+b)^2-4ab≥0证明)
所以ab=a+b+3≥2√ab+3,即ab-2√ab-3≥0
(√ab-3)(√ab+1)≥0,得到:√ab≥3,所以ab≥9.
3、同第二题,用到那个不等式……则有:
2c≥a+b≥2√ab,所以c≥√ab,即c^2≥ab(当且仅当a=b=c时取得等号)
4、移项得到:a-b>1/a-1/b,a-b>(b-a)/ab;
而a>b,所以1/ab>-1,化为(ab+1)/ab>0,即(ab+1)×ab>0;
所以:ab>0或ab<-1.
5、由于a≥-3,得到√(a+3)≥0,√(a+7)>0,√(a+5)>0;
所以:P>0,Q>0;所以可以先比较P^2与Q^2的大小;
而P^2=2a+10+2√(a+3)(a+7),Q^2=4(a+5);
所以:Q^2-P^2=2a+10-2√(a+3)(a+7)=〔√(a+3)-√(a+7)〕^2 >0;
即:Q^2>P^2,而Q、P均大于零,已证,
所以:P<Q.
好累,睡觉了……
 
 
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