求高手帮我证明圆锥体积公式

问题描述：

求高手帮我证明圆锥体积公式
等底面积等高的圆锥体积是圆柱体积的三分之一.此结论我一直没想出来.现在我有这个想法是这样.有一矩形ABC D,连接AC得到两个等面积的三角形,让这个矩形绕着AB边旋转.那么我得到一个圆柱,其中三角形ABC形成的是圆锥,三角形形ACD形成了个挖去圆锥的圆柱.我一开始很惊讶：为何面积相等的三角形绕着转形成的体积不同.后来我想到了由于两个三角形上与AB相等的线段大小不同.（不知能否说清楚就是 ,比如有一条直线EF平行AB交AC于G,那么EG与FG长度不同）
那么EG和FG绕AB形成的长方形面积就不同（小圆柱表面积）.靠近AB侧显然是三角形ABC占优势形成的体积大.但是在CD 那侧三角形ACD优势更大,因为相同的差值由于半径长,形成体积差更大..于是解释了为什么两个三角形面积相等但是却形成体积不同的图形.但是为何是二倍的关系,我就感觉力不从心了.还请大家一起帮我完成这个证明.

1个回答分类：数学 2014-11-23

问题解答：

我来补答

用定积分推导.前两天才做了一遍.
设圆锥高H,底面半径为R.
横截圆锥,得一圆面.设此圆面距底面的距离为h,半径为r.相似三角形的r/R=(H-h)/H,解出r=R(H-h)/H.设圆面面积为h的函数,即S(h)=πr^2=π(R(H-h)/H)^2=(πR^2/H^2)h^2-(2πR^2/H)h+πR^2.S(h)的的一个原函数为T(h)=(πR^2/3H^2)h^3-(πR^2/H)h^2+πR^2h.
H
故V=∫ S(h)dh=T(H)-T(0)=π(R^2)H/3
0
体积公式已导出.
不知你是哪一年级的水平?我高一的,自学了一点微积分,这是我能想到的最简单的解法了.如果你已学函数,自己看看微积分的最基本的知识,马上就能理解我的解法.如果函数都没学,那也别着急.总有一天会明白的.

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