已知f(x)是定义在R上的函数,x>0时f(x)>0且f(x+y)=f(x)f(y) 求证f(x)在R上单调递减

解:在f(x+y)=f(x)f(y)中令x=y=0得f(0)=f(0)^2
所以f(0)=0或f(0)=1
当f(0)=0时,f(1+0)=f(1)f(0)=0与x>0时f(x)>0矛盾
所以f(0)=1
设x1,x2∈R,则x2=x1+t,(其中t>0)
f(x2)=f(x1+t)=f(x1)f(t)
f(x2)/f(x1)=f(t)∈(0,1),即f(x2)＜f(x1)
所以f(x)为减函数
原题中"x>0时f(x)>0"应为x>0时0＜f(x)＜1