设f(x)在[a,b]连续且f′(x)>0,证明∫(a,b) xf(x)dx≥(a+b)/2 ∫(a,b)f(x)dx

构造函数：F(u)=2∫[a--->u] xf(x)dx-(a+u)∫[a--->u]f(x)dx,u∈[a,b],显然有F(a)=0
F'(u)=2uf(u)-∫[a--->u]f(x)dx-(a+u)f(u)
=uf(u)-af(u)-∫[a--->u]f(x)dx
=f(u)(u-a)-∫[a--->u]f(x)dx
由积分中值定理：∫[a--->u]f(x)dx=f(ξ)(u-a),a