如果任一个n维非零向量都是n阶矩阵A的特征向量,则A是一个数量矩阵

证明:因为任一个n维非零向量都是n阶矩阵A的特征向量,
所以n维基本向量组ε1,ε2,...,εn也是A的特征向量.
设 Aεi = kiεi,i=1,2,...,n
则 A(ε1,ε2,...,εn)
= (Aε1,Aε2,...,Aεn)
= (k1ε1,k2ε2,...,knεn)
= (ε1,ε2,...,εn) diag(k1,k2,...,kn)
而 (ε1,ε2,...,εn) = E 是单位矩阵,
所以有 A = diag(k1,k2,...,kn) 是对角矩阵.
但为什么k1,k2,...,kn两两相等?没时间想了.