设f（x）是定义在区间【-a,a】上存在各阶导数的偶函数,证明f（x）在x=0处的奇数阶导数都等于0

先证明奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数：
f(x)偶时
f'(-x) = lim(f(-x+h)-f(-x))/h [h→0]
= lim(f(x-h)-f(x))/h [h→0]
= -lim(f(x)-f(x-h))/h [h→0]
=- f'(x)
f(x)奇时
f'(-x) = lim(f(-x+h)-f(-x))/h [h→0]
= lim(-f(x-h)+f(x))/h [h→0]
= lim(f(x)-f(x-h))/h [h→0]
=f'(x)
以上已经证明了任意奇函数导数是偶函数,任意偶函数导数是奇函数.
所以f(x)偶则其奇数阶导数都是奇函数,从而在x=0处都等于0