在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,PD垂直底面ABCD.PD等于DC.点E是PC的中点,点F在PB

问题描述:

在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,PD垂直底面ABCD.PD等于DC.点E是PC的中点,点F在PB上,且EF
垂直PB,求证:PB垂直平面DEF
求二面角C-PB-D的大小
1个回答 分类:数学 2014-11-21

问题解答:

我来补答
1,证明:∵PD⊥底面ABCD,
∴PD⊥DB,PD⊥DC,PD⊥DB.
又∵BC⊥DC,PD∩DC=D,
∴BC⊥平面PDC.
∴PC是PB在平面PDC内的射影.
∵PD⊥DC,PD=DC,点E是PC的中点,
∴DE⊥PC.
由三垂线定理知,DE⊥PB.
∵DE⊥PB,EF⊥PB,DE∩EF=E,
∴PB⊥平面EFD.
2以点D为坐标原点,DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系
D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),
C(0,2,0),P(0,0,2)
∵PB⊥平面EFD,∴PB⊥FD.
又∵EF⊥PB,FD∩EF=F,∴∠EFD就是二面角C-PB-D的平面角
设F(x,y,z),则 PF=(x,y,z-2),DF=(x,y,z)
∵PF∥PB,DF⊥PB
∴ PF=k PB,PB• DF=0,
x=y=(-z-2)=2k,x+y-z=0
k= 1/3,x=y= 2/3,z= 4/3
∴F( 2/3,2/3,4/3)
FD=(- 2/3,- 2/3,- 4/3),EF=(- 2/3,1/3,- 1/3)
∵cos∠EFD= FD•FE|FD|•|FE|= 1/2
∴∠EFD=60°.
 
 
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