已知：在三角形ABC中,角CAB=2a.且a大于零度,小于30度,AP平分角CAB,P为三角形内部一点,连接AP,BP,

【题目】
已知在△ABC中,∠CAB=2α,且0＜α＜30°,AP平分∠CAB,若∠ABC=60°-α,点P在△ABC的内部,且使∠CBP=30°,求∠APC的度数（用含α的代数式表示）.
 

【解法一】
延长AC至M,使AM=AB,连接PM,BM（如图1） 
∵AP平分∠CAB,∠CAB=2α
∴∠1=∠2= α
在△AMP和△ABP中：
∵AM=AB,∠1 =∠2,AP=AP
∴△AMP≌△ABP
∴PM=PB,∠3 =∠4
∵∠ABC=60°－α,∠CBP=30°
∴∠4=(60°－α)－30°=30°－α
∴∠3 =∠4 =30°－α   
∵△AMB中,AM=AB
∴∠AMB=∠ABM=(180°－∠MAB)÷2 =(180°－2α)÷2 =90°－α
∴∠5=∠AMB－∠3= (90°－α)－(30°－α)=60°
∴△PMB为等边△
∵∠6=∠ABM－∠ABC = (90°－α)－(60°－α)=30°
∴∠6=∠CBP
∴BC平分∠PBM
∴BC垂直平分PM
∴CP=CM
∴∠7 =∠3 = 30°－α
∴∠ACP=∠7＋∠3=(30°－α)＋(30°－α)=60°－2α
∴△ACP中,∠APC=180°－∠1－∠ACP
=180°－α－(60°－2α)
=120°＋α
 
 
【解法二】
在AB上截取AM,使AM=AC,连接PM,延长AP交BC于N,连接MN（如图2） 
∵AP平分∠CAB,∠CAB=2α
∴∠1=∠2=α
在△ACN和△AMN中：
∵AC=AM,∠1 =∠2, AN=AN
∴△ACN≌△AMN
∴∠3 =∠4
∵∠ABC=60°－α
∴∠3=∠2＋∠NBA=α＋(60°－α) =60°
∴∠3 =∠4 =60°
∴∠5=180°－∠3－∠4=180°－60°－60°=60°
∴∠4 =∠5
∴NM平分∠PNB
∵∠CBP=30°
∴∠6=∠3－∠NBP=60°－30°=30°
∴∠6=∠NBP
∴NP=NB
∴NM垂直平分PB
∴MP=MB
∴∠7 =∠8
∴∠6＋∠7 =∠NBP＋∠8
即∠NPM=∠NBM =60°－α
∴∠APM=180°－∠NPM =180°－(60°－α)=120°＋α
在△ACP和△AMP中：
∵AC=AM, ∠1 =∠2, AP=AP
∴△ACP≌△AMP
∴∠APC=∠APM 
∴∠APC=120°＋α