问题描述：
请老师给我讲一下磁场问题中求磁场最小面积的方法
每次都分析错，希望老师解答
每次都分析错，希望老师解答
问题解答：
我来补答
解题思路： 依据题意根据物理规律分析带电粒子的运动情形，适当地结合数学方法，认真加以分析，找到问题的突破口，那么关于求磁场区域最小面积的问题都可以得到解决。
解题过程：
磁场最小面积的确定方法
电磁场内容历来是高考中的重点和难点。近年来求磁场的问题屡屡成为高考中的热点，而这类问题单纯从物理的角度又比较难求解，求磁场区域最小面积的三类问题
难点：磁场的区域未知，带电粒子运动轨迹只是部分圆弧，在运动过程中的临界点（如轨迹的切点、磁场的边界点等）难以确定。求磁场区域最小面积问题中关于带电粒子运动的速度大小和方向变化的三类问题：
类型一：速度大小和方向都不变
这类问题，先根据题意确定好运动轨迹，再由几何知识找到矩形磁场面积最小时的边界点和轨迹的相切点，问题就迎刃而解了。
类型二：速度大小改变、方向不变
这类问题，磁场的边界主要是根据粒子运动方向的限制，分析各个粒子的运动轨迹特点而找到。这部分相对来说有一定的分析难度。
类型三：速度大小不变、方向改变。
这类问题，难点在于磁场区域边界的确定，其中一个边界根据物理规律可以分析找到，另一个边界则要结合数学方法即参数法可以找到。这种类型对综合分析问题的能力要求较高。
总的来说，解决这三种类型问题的关键是，依据题意根据物理规律分析带电粒子的运动情形，适当地结合数学方法，认真加以分析，找到问题的突破口，那么关于求磁场区域最小面积的问题都可以得到解决。
下面介绍几种数学方法。
一、几何法
1. 一质量为m、电荷量为+q的粒子以速度
，从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向的夹角为30°，同时进入场强为E、方向沿与x轴负方向成60°角斜向下的匀强电场中，通过了b点正下方的c点，如图1所示，粒子的重力不计，试求：
（1）圆形匀强磁场区域的最小面积；
（2）c点到b点的距离。
图1
解析：（1）先找圆心，过b点逆着速度v的方向作直线bd，交y轴于d，由于粒子在磁场中偏转的半径一定，且圆心位于Ob连线上，距O点距离为圆的半径，据牛顿第二定律有：
①
解得
②
过圆心作bd的垂线，粒子在磁场中运动的轨迹如图2所示：要使磁场的区域有最小面积，则Oa应为磁场区域的直径，由几何关系知：
图2
③
由②③得
所以圆形匀强磁场的最小面积为：
（2）带电粒子进入电场后，由于速度方向与电场力方向垂直，故做类平抛运动，由运动的合成知识有：
④
⑤
而
⑥
联立④⑤⑥解得
二、参数方法
2．在xOy平面内有许多电子（质量为m、电荷量为e），从坐标原点O不断地以相同的速率沿不同方向射入第一象限，如图3所示。现加一个垂直于
平面向里，磁感应强度为B的匀强磁场，要使这些电子穿过磁场区域后都能平行于x轴向x轴正向运动。求符合该条件磁场的最小面积。
图3
解析：由题意可知，电子是以一定速度从原点O沿任意方向射入第一象限时，先考察速度沿+y方向的电子，其运动轨迹是圆心在x轴上的A1点、半径为的圆。该电子沿圆弧OCP运动至最高点P时即朝x轴的正向，可见这段圆弧就是符合条件磁场的上边界，见图5。当电子速度方向与x轴正向成角度
时，作出轨迹图4，当电子达到磁场边界时，速度方向必须平行于x轴方向，设边界任一点的坐标为
，由图4可知：
图4
，消去参数得：
可以看出随着的变化，S的轨迹是圆心为（0，R），半径为R的圆，即是磁场区域的下边界。
上下边界就构成一个叶片形磁场区域。如图5所示。则符合条件的磁场最小面积为扇形面积减去等腰直角三角形面积的2倍。
图5
三、带电粒子在磁场中的运动例题
3．在如图所示的平面直角坐标系xoy中，有一个圆形区域的匀强磁场（图中未画出），磁场方向垂直于xoy平面，O点为该圆形区域边界上的一点。现有一质量为m，带电量为+q的带电粒子（重力不计）从O点为以初速度vo沿+x方向进入磁场，已知粒子经过y轴上p点时速度方向与+y方向夹角为θ＝30º，OP=L 求：⑴磁感应强度的大小和方向 ⑵该圆形磁场区域的最小面积。
四．--穿越有界场的轨迹分析；
4．如图所示，在y＜0区域内存在匀强磁场，方向垂直于XY平面并指向纸外，磁感应强度为B，一带正电的粒子从Y轴上的A点，以速度V0与Y轴负半轴成夹角θ射出，进入磁场后，经磁场的偏转最终又恰能通过A点，A点的坐标为（0，a）．试问该粒子的比荷为多少？从A点射出到再次经过A点共要多少时间
解析：
①
几何关系
②
在磁场中偏转时间
③
匀速运动的时间
④
联立①② 及③④分别可得
粒子的比荷
总时间
【益智演练】
1一个负离子，质量为m，电量大小为q，以速率v垂直于屏S经过小孔O射入存在着匀强磁场的真空室中，如图3—51所示，磁感强度B的方向与离子的运动方向垂直，并垂直于纸面向里．
(1)求离子进入磁场后到达屏S上时的位置与O点的距离．
(2)如果离子进入磁场后经过时间t到达位置P，试证明：直线0P与离子入射方向之间的夹角θ跟t关系是
2(甘肃理综)一匀磁场，磁场方向垂直于xy平面，在xy平面上，磁场分布在以O为中心的一个圆形区域内。一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，由原点O开始运动，初速为v，方向沿x正方向。后来，粒子经过y轴上的P点，此时速度方向与y轴的夹角为30°，P到O的距离为L，如图所示。不计重力的影响。求磁场的磁感强度B的大小和xy平面上磁场区域的半径R。
解：粒子在磁场中受各仑兹力作用，作匀速圆周运动，设其半径为r，
①
据此并由题意知，粒子在磁场中的轨迹的圆心C
必在y轴上，且P点在磁场区之外。过P沿速度方向作延长线，它与x轴相交
于Q点。作圆弧过O点与x轴相切，并且与PQ相切，切点A即
粒子离开磁场区的地点。这样也求得圆弧轨迹的圆心C，如图所示。
由图中几何关系得
L=3r ②
由①、②求得
③
图中OA的长度即圆形磁场区的半径R，由图中几何关系可得
④
3.设在地面上方的真空室内存在匀强电场和匀强磁场.已知电场强度和磁感应强度的方向是相同的,电场强度的大小E=4.0伏/米,磁感应强度的大小B=0.15特.今有一个带负电的质点以v=20米/秒的速度在此区域内沿垂直场强方向做匀速直线运动,求此带电质点的电量与质量之比q/m以及磁场的所有可能方向(角度可用反三角函数表示).
解：
根据带电质点做匀速直线运动的条件,得知此带电质点所受的重力、电场力和洛仑兹力的合力必定为零.由此推知此三个力在同一竖直平面内,如右图所示,质点的速度垂直纸面向外.
解法一:由合力为零的条件,可得
求得带电质点的电量与质量之比
因质点带负电,电场方向与电场力方向相反,因而磁场方向也与电场力方向相反.设磁场方向与重力方向之间夹角为θ,则有
qEsinθ=qvBcosθ,
即磁场是沿着与重力方向夹角θ=arctg0.75,且斜向下方的一切方向.
解法二:因质点带负电,电场方向与电场力方向相反,因而磁砀方向也与电场力方向相反.设磁场方向与重力方向间夹角为θ,由合力为零的条件,可得
qEsinθ=qvBcosθ, ①
qEcosθ+qvBsinθ=mg, ②
即磁场是沿着与重力方向成夹角θ=arctg0.75,且斜向下方的一切方向
4.如图所示，在x轴上方有垂直于xy平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B；在x轴下方有沿y轴负方向的匀强电场，场强为E。一质量为m，电量为-q的粒子从坐标原点O沿着y轴正方向射出。射出之后，第三次到达x轴时，它与点O的距离为L。求此粒子射出时的速度v和运动的总路程s（重力不计）。
解：粒子运动路线如图示有
L＝4R ①
粒子初速度为v，则有
qvB=mv2/R ②
由①、②式可算得
v=qBL/4m ③
设粒子进入电场作减速运动的最大路程为l，加速度为
a，v2=2al ④
qE=ma ⑤
粒子运动的总路程 s=2πR+2l ⑥
由①、②、④、⑤、⑥式，得s=πL/2+qB2L2/(16mE) ⑦
5．图中虚线MN是一垂直纸面的平面与纸面的交线，在平面右侧的半空间存在一磁感强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向外是MN上的一点，从O点可以向磁场区域发射电量为＋q、质量为m 、速率为的粒于，粒于射入磁场时的速度可在纸面内各个方向已知先后射人的两个粒子恰好在磁场中给定的P点相遇，P到0的距离为L不计重力及粒子间的相互作用
(1)求所考察的粒子在磁场中的轨道径
(2)求这两个粒子从O点射人磁场的时间间隔
解：（1）设粒子在磁场中作圆周运动的轨道半径为R，由牛顿第二定律，有
qvB=mv2/R 得R=mv/qB ①
（2）如图所示，以OP为弦可画两个半径相同的圆，分别表示在P点相遇的两个粒子的轨道。圆心和直径分别为 O1、O2和OO1Q1,OO2Q2,在0处两个圆的切线分别表示两个粒子的射入方向，用θ表示它们之间的夹角。由几何关系可知
∠PO1Q1=∠PO2Q2θ ②
从0点射入到相遇，粒子1的路程为半个圆周加弧长Q1P
Q1P＝Pθ ③
粒子2的路程为半个圆周减弧长PQ2=2
PQ2=Rθ ④
粒子1运动的时间
t1=(1/2T)+(Rθ/v) ⑤
其中T为圆周运动的周期。粒子2运动的时间为
t2=(1/2T)-(Rθ/v) ⑥
两粒子射入的时间间隔
△t=t1-t2=2Rθ/V ①
因 Rcos(θ/2) =1/2L
得 θ =2arccos (L/2R) ③
由①、①、③三式得
△t=4marccos(lqB/2mv)/qB
6.如图所示，在y＞0的空间中存在匀强电场，场强沿y轴负方向；在y＜0的空间中，存在匀强磁场，磁场方向垂直xy平面（纸面）向外。一电量为q、质量为m的带正电的运动粒子，经过y轴上y＝h处的点P1时速率为v0，方向沿x轴正方向；然后，经过x轴上x＝2h处的 P2点进入磁场，并经过y轴上y＝
处的P3点。不计重力。求
（l）电场强度的大小。
（2）粒子到达P2时速度的大小和方向。
（3）磁感应强度的大小。
解：
（1）粒子在电场、磁场中运动的轨迹如图所示。设粒子从P1到P2的时间为t，电场强度的大小为E，粒子在电场中的加速度为a，由牛顿第二定律及运动学公式有
qE ＝ ma ①
v0t ＝ 2h ②
③
由①、②、③式解得
④
（2）粒子到达P2时速度沿x方向的分量仍为v0，以v1表示速度沿y方向分量的大小，v表示速度的大小，θ表示速度和x轴的夹角，则有
⑤
⑥
⑦
由②、③、⑤式得
v1＝v0 ⑧
由⑥、⑦、⑧式得
⑨
⑩
（3）设磁场的磁感应强度为B，在洛仑兹力作用下粒子做匀速圆周运动，由牛顿第二定律
⑾
r是圆周的半径。此圆周与x轴和y轴的交点分别为P2、P3。因为OP2＝OP3，
θ＝45°，由几何关系可知，连线P2P3为圆轨道的直径，由此可求得
r＝
⑿
由⑨、⑾、⑿可得
解题过程：
磁场最小面积的确定方法
电磁场内容历来是高考中的重点和难点。近年来求磁场的问题屡屡成为高考中的热点，而这类问题单纯从物理的角度又比较难求解，求磁场区域最小面积的三类问题
难点：磁场的区域未知，带电粒子运动轨迹只是部分圆弧，在运动过程中的临界点（如轨迹的切点、磁场的边界点等）难以确定。求磁场区域最小面积问题中关于带电粒子运动的速度大小和方向变化的三类问题：
类型一：速度大小和方向都不变
这类问题，先根据题意确定好运动轨迹，再由几何知识找到矩形磁场面积最小时的边界点和轨迹的相切点，问题就迎刃而解了。
类型二：速度大小改变、方向不变
这类问题，磁场的边界主要是根据粒子运动方向的限制，分析各个粒子的运动轨迹特点而找到。这部分相对来说有一定的分析难度。
类型三：速度大小不变、方向改变。
这类问题，难点在于磁场区域边界的确定，其中一个边界根据物理规律可以分析找到，另一个边界则要结合数学方法即参数法可以找到。这种类型对综合分析问题的能力要求较高。
总的来说，解决这三种类型问题的关键是，依据题意根据物理规律分析带电粒子的运动情形，适当地结合数学方法，认真加以分析，找到问题的突破口，那么关于求磁场区域最小面积的问题都可以得到解决。
下面介绍几种数学方法。
一、几何法
1. 一质量为m、电荷量为+q的粒子以速度
，从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向的夹角为30°，同时进入场强为E、方向沿与x轴负方向成60°角斜向下的匀强电场中，通过了b点正下方的c点，如图1所示，粒子的重力不计，试求：（1）圆形匀强磁场区域的最小面积；
（2）c点到b点的距离。
图1
解析：（1）先找圆心，过b点逆着速度v的方向作直线bd，交y轴于d，由于粒子在磁场中偏转的半径一定，且圆心位于Ob连线上，距O点距离为圆的半径，据牛顿第二定律有：
①解得
②过圆心作bd的垂线，粒子在磁场中运动的轨迹如图2所示：要使磁场的区域有最小面积，则Oa应为磁场区域的直径，由几何关系知：
图2
③由②③得
所以圆形匀强磁场的最小面积为：
（2）带电粒子进入电场后，由于速度方向与电场力方向垂直，故做类平抛运动，由运动的合成知识有：
④ ⑤而
⑥联立④⑤⑥解得
二、参数方法
2．在xOy平面内有许多电子（质量为m、电荷量为e），从坐标原点O不断地以相同的速率
沿不同方向射入第一象限，如图3所示。现加一个垂直于平面向里，磁感应强度为B的匀强磁场，要使这些电子穿过磁场区域后都能平行于x轴向x轴正向运动。求符合该条件磁场的最小面积。图3
解析：由题意可知，电子是以一定速度从原点O沿任意方向射入第一象限时，先考察速度沿+y方向的电子，其运动轨迹是圆心在x轴上的A1点、半径为
的圆。该电子沿圆弧OCP运动至最高点P时即朝x轴的正向，可见这段圆弧就是符合条件磁场的上边界，见图5。当电子速度方向与x轴正向成角度时，作出轨迹图4，当电子达到磁场边界时，速度方向必须平行于x轴方向，设边界任一点的坐标为，由图4可知：图4
，消去参数得：可以看出随着
的变化，S的轨迹是圆心为（0，R），半径为R的圆，即是磁场区域的下边界。上下边界就构成一个叶片形磁场区域。如图5所示。则符合条件的磁场最小面积为扇形面积减去等腰直角三角形面积的2倍。
图5
三、带电粒子在磁场中的运动例题
3．在如图所示的平面直角坐标系xoy中，有一个圆形区域的匀强磁场（图中未画出），磁场方向垂直于xoy平面，O点为该圆形区域边界上的一点。现有一质量为m，带电量为+q的带电粒子（重力不计）从O点为以初速度vo沿+x方向进入磁场，已知粒子经过y轴上p点时速度方向与+y方向夹角为θ＝30º，OP=L 求：⑴磁感应强度的大小和方向 ⑵该圆形磁场区域的最小面积。
四．--穿越有界场的轨迹分析；
4．如图所示，在y＜0区域内存在匀强磁场，方向垂直于XY平面并指向纸外，磁感应强度为B，一带正电的粒子从Y轴上的A点，以速度V0与Y轴负半轴成夹角θ射出，进入磁场后，经磁场的偏转最终又恰能通过A点，A点的坐标为（0，a）．试问该粒子的比荷为多少？从A点射出到再次经过A点共要多少时间
解析：
①几何关系
②在磁场中偏转时间
③匀速运动的时间
④联立①② 及③④分别可得
粒子的比荷
总时间
【益智演练】1一个负离子，质量为m，电量大小为q，以速率v垂直于屏S经过小孔O射入存在着匀强磁场的真空室中，如图3—51所示，磁感强度B的方向与离子的运动方向垂直，并垂直于纸面向里．(1)求离子进入磁场后到达屏S上时的位置与O点的距离．
(2)如果离子进入磁场后经过时间t到达位置P，试证明：直线0P与离子入射方向之间的夹角θ跟t关系是
2(甘肃理综)一匀磁场，磁场方向垂直于xy平面，在xy平面上，磁场分布在以O为中心的一个圆形区域内。一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，由原点O开始运动，初速为v，方向沿x正方向。后来，粒子经过y轴上的P点，此时速度方向与y轴的夹角为30°，P到O的距离为L，如图所示。不计重力的影响。求磁场的磁感强度B的大小和xy平面上磁场区域的半径R。
解：粒子在磁场中受各仑兹力作用，作匀速圆周运动，设其半径为r，
①据此并由题意知，粒子在磁场中的轨迹的圆心C
必在y轴上，且P点在磁场区之外。过P沿速度方向作延长线，它与x轴相交
于Q点。作圆弧过O点与x轴相切，并且与PQ相切，切点A即
粒子离开磁场区的地点。这样也求得圆弧轨迹的圆心C，如图所示。
由图中几何关系得
L=3r ②
由①、②求得
③图中OA的长度即圆形磁场区的半径R，由图中几何关系可得
④3.设在地面上方的真空室内存在匀强电场和匀强磁场.已知电场强度和磁感应强度的方向是相同的,电场强度的大小E=4.0伏/米,磁感应强度的大小B=0.15特.今有一个带负电的质点以v=20米/秒的速度在此区域内沿垂直场强方向做匀速直线运动,求此带电质点的电量与质量之比q/m以及磁场的所有可能方向(角度可用反三角函数表示).
解：
根据带电质点做匀速直线运动的条件,得知此带电质点所受的重力、电场力和洛仑兹力的合力必定为零.由此推知此三个力在同一竖直平面内,如右图所示,质点的速度垂直纸面向外.
解法一:由合力为零的条件,可得
求得带电质点的电量与质量之比
因质点带负电,电场方向与电场力方向相反,因而磁场方向也与电场力方向相反.设磁场方向与重力方向之间夹角为θ,则有
qEsinθ=qvBcosθ,
即磁场是沿着与重力方向夹角θ=arctg0.75,且斜向下方的一切方向.
解法二:因质点带负电,电场方向与电场力方向相反,因而磁砀方向也与电场力方向相反.设磁场方向与重力方向间夹角为θ,由合力为零的条件,可得
qEsinθ=qvBcosθ, ①
qEcosθ+qvBsinθ=mg, ②
即磁场是沿着与重力方向成夹角θ=arctg0.75,且斜向下方的一切方向
4.如图所示，在x轴上方有垂直于xy平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B；在x轴下方有沿y轴负方向的匀强电场，场强为E。一质量为m，电量为-q的粒子从坐标原点O沿着y轴正方向射出。射出之后，第三次到达x轴时，它与点O的距离为L。求此粒子射出时的速度v和运动的总路程s（重力不计）。
解：粒子运动路线如图示有
L＝4R ①
粒子初速度为v，则有
qvB=mv2/R ②
由①、②式可算得
v=qBL/4m ③
设粒子进入电场作减速运动的最大路程为l，加速度为
a，v2=2al ④
qE=ma ⑤
粒子运动的总路程 s=2πR+2l ⑥
由①、②、④、⑤、⑥式，得s=πL/2+qB2L2/(16mE) ⑦
5．图中虚线MN是一垂直纸面的平面与纸面的交线，在平面右侧的半空间存在一磁感强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向外是MN上的一点，从O点可以向磁场区域发射电量为＋q、质量为m 、速率为的粒于，粒于射入磁场时的速度可在纸面内各个方向已知先后射人的两个粒子恰好在磁场中给定的P点相遇，P到0的距离为L不计重力及粒子间的相互作用(1)求所考察的粒子在磁场中的轨道径
(2)求这两个粒子从O点射人磁场的时间间隔
解：（1）设粒子在磁场中作圆周运动的轨道半径为R，由牛顿第二定律，有
qvB=mv2/R 得R=mv/qB ①
（2）如图所示，以OP为弦可画两个半径相同的圆，分别表示在P点相遇的两个粒子的轨道。圆心和直径分别为 O1、O2和OO1Q1,OO2Q2,在0处两个圆的切线分别表示两个粒子的射入方向，用θ表示它们之间的夹角。由几何关系可知
∠PO1Q1=∠PO2Q2θ ②
从0点射入到相遇，粒子1的路程为半个圆周加弧长Q1P
Q1P＝Pθ ③
粒子2的路程为半个圆周减弧长PQ2=2
PQ2=Rθ ④
粒子1运动的时间
t1=(1/2T)+(Rθ/v) ⑤
其中T为圆周运动的周期。粒子2运动的时间为
t2=(1/2T)-(Rθ/v) ⑥
两粒子射入的时间间隔
△t=t1-t2=2Rθ/V ①
因 Rcos(θ/2) =1/2L
得 θ =2arccos (L/2R) ③
由①、①、③三式得
△t=4marccos(lqB/2mv)/qB
6.如图所示，在y＞0的空间中存在匀强电场，场强沿y轴负方向；在y＜0的空间中，存在匀强磁场，磁场方向垂直xy平面（纸面）向外。一电量为q、质量为m的带正电的运动粒子，经过y轴上y＝h处的点P1时速率为v0，方向沿x轴正方向；然后，经过x轴上x＝2h处的 P2点进入磁场，并经过y轴上y＝
处的P3点。不计重力。求（l）电场强度的大小。（2）粒子到达P2时速度的大小和方向。
（3）磁感应强度的大小。
解：
（1）粒子在电场、磁场中运动的轨迹如图所示。设粒子从P1到P2的时间为t，电场强度的大小为E，粒子在电场中的加速度为a，由牛顿第二定律及运动学公式有
qE ＝ ma ①
v0t ＝ 2h ②
③由①、②、③式解得
④（2）粒子到达P2时速度沿x方向的分量仍为v0，以v1表示速度沿y方向分量的大小，v表示速度的大小，θ表示速度和x轴的夹角，则有
⑤ ⑥ ⑦由②、③、⑤式得
v1＝v0 ⑧
由⑥、⑦、⑧式得
⑨ ⑩（3）设磁场的磁感应强度为B，在洛仑兹力作用下粒子做匀速圆周运动，由牛顿第二定律
⑾r是圆周的半径。此圆周与x轴和y轴的交点分别为P2、P3。因为OP2＝OP3，
θ＝45°，由几何关系可知，连线P2P3为圆轨道的直径，由此可求得
r＝
⑿由⑨、⑾、⑿可得
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