如图,已知直线l1:y=2x+m(m<0)与抛物线C1:y=ax2(a>0)和圆C2:x2+(y+1)2=5都相切,F是

问题描述:

如图,已知直线l1:y=2x+m(m<0)与抛物线C1:y=ax2(a>0)和圆C2:x2+(y+1)2=5都相切,F是C1的焦点.
(1)求m与a的值;
(2)设A是C1上的一动点,以A为切点作抛物线C1的切线l,直线l交y轴于点B,以FA,FB为邻边作平行四边形FAMB,证明:点M在一条定直线上;
(3)在(2)的条件下,记点M所在的定直线为l2,直线l2与y轴交点为N,连接MF交抛物线C1于P,Q两点,求△NPQ的面积S的取值范围.
1个回答 分类:综合 2014-10-24

问题解答:

我来补答
(1)由已知,圆C2:x2+(y+1)2=5的圆心为C2(0,-1),半径 r=
5.(1分)
由题设圆心到直线l1:y=2x+m的距离 d=
|1+m|

22+(−1)2.(3分)

|1+m|

22+(−1)2=
5,
解得m=-6(m=4舍去).(4分)
设l1与抛物线的相切点为A0(x0,y0),又y′=2ax,(5分)
得 2ax0=2⇒x0=
1
a,y0=
1
a.(6分)
代入直线方程得:
1
a=
2
a−6,∴a=
1
6
所以m=-6,a=
1
6.(7分)
(2)由(1)知抛物线C1方程为 y=
1
6x2,焦点 F(0,
3
2).(8分)
设 A(x1,
1
6
x21),由(1)知以A为切点的切线l的方程为 y=
 
 
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