设p是直线l2x+y=0上的任意一点,过点p作圆x^2|+y^2=9的两条切线pa,pb切点分别为ab,则直线ab恒过定

实做起来挺麻烦,这里给个思路.
2x + y + 9 = 0
y = -2x - 9
设P(p,-2p-9),又设过P的圆的切线斜率为k,切线方程为y + 2p + 9 = k(x- p)
kx - y -kp - 2p -9 = 0
圆心(0,0)与其距离d等于半径.
d = |-kp -2p -9|/√(k² + 1) = |kp + 2p + 9|/√(k²+1) = 3
|kp + 2p + 9| = 3√(k²+1)
平方:p²k²+ 2p(2p+9)k + (2p+9)² = 9k² + 9
(p² -9)k² + 2p(2p+9)k + (2p+9)² -9 = 0
其判别式 = 4p²(2p+9)² -4(p² -9)[(2p+9)² -9]
= 4p²(2p+9)² -4[p²(2p+9)² -9p² -9(2p+9)² +81]
= 4p²(2p+9)² - 4p²(2p+9)² + 36p² + 36(2p+9)² -324
= 36p² + 36(2p+9)² -324
= 36(5p² + 36p + 72)
k₁,₂ = [-2p(2p+9) ± 6√(5p² + 36p + 72)]/[2(p² -9)]
= [-p(2p+9) ± 3√(5p² + 36p + 72)]/(p² -9)
这样可得过P的圆的切线方程(两条).
OA,OB的斜率分别为-1/k₁,-1/k₂
方程为:y = -x/k₁,y = -x/k₂
分别与PA,PB的方程联立可得A,B的坐标,以及AB的方程.
如果AB的方程中只有x或y的系数中有p,则很容易发现定点.否则须发现p取3个不同值时,3条不同的AB是否过同一点.