如果单调递增的数列的奇数项子列收敛，则该数列收敛吗

参考答案一

   设数列为an.因为an增，则a(2k-1)≤an﹙2k﹚≤an﹙2k+1﹚[括号内为角标].不妨设奇数子列收敛于A，即任意ε﹥0，存在正整数N1，k＞N1时，有A-ε＜a(2k-1﹚＜A+ε. 存在正整数N2,K＞N2时，有A-ε＜a(2k+1﹚＜A+ε。取N=max﹛N1,N2﹜则k＞N时，有A-ε＜a(2k-1﹚＜a(2k+1﹚＜A+ε。进一步A-ε＜a(2k-1﹚＜a﹙2k﹚＜a(2k+1﹚＜A+ε。即偶数子列也收敛于A。竟然一个数列的奇数、偶数子列都收敛于A,那么an就收敛于A。

参考答案二

   证明：

   假设数列an收敛于实数A和实数B，其中A≠B，不妨假设A0，使得对于任意的n≥N，总有 |an-A|

   取e=(B-A)/2，那么对于任意的n≥N，必有|an-A|<(B-A)/2即A-(B-A)/2 即(3A-B)/2 

   因此 (3A-B)/2-B 即 3(A-B)/2 由于A 因此an-B<(A-B)/2<0对于任意的n≥N成立。

   即|an-B|>|A-B|/2对于任意的n≥N成立。因此存在一个e'=|A-B|/2>0，使得对于任意的N'>0，总会有更大的N''>N且N>N'，使得对于任意的n≥N''，总是不满足|an-B|

   根据数列极限的e-N定义法，数列an不收敛于B。