4q^4+q^2-3q+1=0
一般如果如果方程有解,那么它的有理解一般是 b/a形式,且 a是最高次项的系数的因数,b是常数项的因数.
也就是对于本题来说,如果方程有解 b/a,那么 b=1,a是4的因数,当然包括正负.
所以 |b/a|=1/4,1,1/2,有6种可能.
q=1时,原式左边=4+1-3+1≠0
q=-1时,原式左边=4+1+3+1≠0
q=1/2时,原式左边=1/4+1/4-3/2+1=0
说明有 q=1/2的解,也就是 2q-1=0
即 4q^4+q^2-3q+1 含用因式2q-1
现在以 2q-1来凑
4q^4+q^2-3q+1
=2q^3*(2q-1)+2q^3+q^2-3q+1
=2q^3*(2q-1)+q^2(2q-1)+2q^2-3q+1
=(2q^3+q^2+q-1)(2q-1)
对于 (2q^3+q^2+q-1)=0
我们发现 q=1/2还是它的根,所以有再凑2q-1
2q^3+q^2+q-1
=q^2(2q-1)+2q^2+q-1
=(2q-1)(q^2+q+1)
即 4q^4+q^2-3q+1
=(2q-1)^2*(q^2+q+1)
q^2+q+1=(q+1/2)^2+3/4>=3/4>0,在实数范围内不能再分解了.
所以 2q-1=0,即 q=1/2
原方程的根是 q=1/2
如果通过上面的方式试不出来原方程的根,那原式如果能分解因式,肯定会是下面两式中的一种,用待定系数来求解即可.
(q^2+aq+1)(4q^2+bq+1) 或者(q^2+aq-1)(4q^2+bq-1)
(2q^2+aq+1)(2q^2+bq+1) 或者(2q^2+aq-1)(2q^2+bq-1)
