这个问题其实比较复杂,严格的证明需要用到张量等一些高等数学的工具.只能简单地说说.
“液体内部同一深度各方向压强相等”这个结论,只有在牛顿流体中才成立.什么是牛顿流体呢,就是液体内部相互之间只有正压力,不存在切向力.也就是说液体没有粘度,上半部分的液体不会给下半部分的液体施加水平方向上的力,同样,左边的液体也不会给右边的液体施加竖直方向上的力.这是个基本假设.实际上自然界不存在真正的牛顿流体,但像水之类的粘度比较小的液体可以看成是牛顿流体.
在牛顿流体的基本假设下,我在液体内部取一个微元,这个微元受哪些力呢,自然受到了六个方向上的正压力,而没有切向方向的受力.由于液体是静止的液体,因此水平方向的压力要相互平衡,竖直方向的压力要和这个微元的重力平衡.
不仅如此,这些力还有个条件,比如水平方向上的力,两个相互平衡的力会使水的微元有向另一个方向拉伸的趋势,因为它没有切向力平衡.所以在拉伸方向上必须有另一对平衡力.而根据水的各向同性,这两对平衡力必须要等大,否则要么就不满足平衡条件,要么水就是各向异性.竖直方向也是同理.
对这样的平衡方程进行积分,还可以得到压力大小是F=ρgh这个结论,因此这个压强公式也是要在牛顿流体的条件下才成立的.
