问题描述：
数列极限
| lim |
| n→+∞ |
问题解答：
我来补答
xn＝
n
n2+12+
n
n2+22+…+
n
n2+n2＝
1
n[
1
1+(
1
n)2+
1
1+(
2
n)2+…+
1
1+(
n
n)2]
这是函数f(x)＝
1
1+x2在[0，1]上有一个积分和：
1
n[f(
1
n)+f(
2
n)+…+f(
n
n)]＝
n
i＝1f(ξi)
1
n，
其中积分区间[0，1]n等分，n等分后每个小区间是[
i−1
n，
i
n](i＝1，2…，n)，ξi是区间的右端点．
因此原式=
lim
n→+∞xn＝
∫10
dx
1+x2＝arctanx
.
1
0＝
π
4．
故选：D．
n
n2+12+
n
n2+22+…+
n
n2+n2＝
1
n[
1
1+(
1
n)2+
1
1+(
2
n)2+…+
1
1+(
n
n)2]
这是函数f(x)＝
1
1+x2在[0，1]上有一个积分和：
1
n[f(
1
n)+f(
2
n)+…+f(
n
n)]＝
n
i＝1f(ξi)
1
n，
其中积分区间[0，1]n等分，n等分后每个小区间是[
i−1
n，
i
n](i＝1，2…，n)，ξi是区间的右端点．
因此原式=
lim
n→+∞xn＝
∫10
dx
1+x2＝arctanx
.
1
0＝
π
4．
故选：D．
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