第一部分 集合
1．理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值?还是因变量的取值?还是曲线上的点?… ；
2．数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解决； 是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
3．重视元素的特征、集合运算（交、并、补）的有关性质和韦恩图的应用
4．（1）含n个元素的集合的子集数为2n,真子集数为2n－1；非空真子集的数为2n-2；
（2） 注意：讨论的时候不要遗忘了 的情况；
（3） .
第二部分 函数
1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一,或多对一.
2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；
⑤换元法 ；⑥利用均值不等式 ； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（ 、 、 等）；⑨导数法
3．复合函数的有关问题（1）复合函数定义域求法：① 若f(x)的定义域为〔a,b〕,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域,相当于x∈[a,b]时,求g(x)的值域.
（2）复合函数单调性的判定：①首先将原函数 分解为基本函数：内函数 与外函数 ；②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；③根据“同性则增,异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性.
注意：外函数 的定义域是内函数 的值域.
4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论.
5．函数的奇偶性⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件；
⑵ 是奇函数 ；
⑶ 是偶函数 ；
⑷奇函数 在原点有定义,则 ；
⑸在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性
(6)若所给函数的解析式较为复杂,应先等价变形,再判断其奇偶性；
6．函数的单调性
⑴单调性的定义： 在区间 上是增（减）函数 当 时 ；
⑵单调性的判定定义法：注意：①作差法,一般要将式子 化为几个因式作积或作商的形式,以利于判断符号；②复合函数法（见二3 （2））；③图像法.
7．函数的周期性
(1)周期性的定义：对定义域内的任意 ,若有 （其中 为非零常数）,则称函数 为周期函数, 为它的一个周期.所有正周期中最小的称为函数的最小正周期.如没有特别说明,遇到的周期都指最小正周期.
（2）三角函数的周期
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；
⑶函数周期的判定：①定义法（试值） ②图像法 ③公式法（利用（2）中结论）
⑷与周期有关的结论：① 或 的周期为 ；② 的图象关于点 中心对称 周期2 ；③ 的图象关于直线 轴对称 周期为2 ；
④ 的图象关于点 中心对称,直线 轴对称 周期4 ；
8．基本初等函数的图像与性质
1．指数与对数运算
（1）根式的概念：
②性质：1） ；2）当 为奇数时, ；
3）当 为偶数时, .
（2）．幂的有关概念
①规定：1） N*；2） ；
n个
3） Q,4） 、 N* 且 .
②性质：1） 、 Q）； 2） 、 Q）；
3） Q）.
（注）上述性质对r、 R均适用.
（3）．对数的概念
①定义：如果 的b次幂等于N,就是 ,那么数 称以 为底N的对数,记作 其中 称对数的底,N称真数.
1）以10为底的对数称常用对数, 记作 ；
2）以无理数 为底的对数称自然对数, ,记作 ；
②基本性质：
1）真数N为正数（负数和零无对数）；2） ；
3） ；4）对数恒等式： .
③运算性质：如果 则
1） ；2） ；
3） R）.
④换底公式：
1） ；2） .
2．指数函数与对数函数
（1）指数函数：
①定义：函数 称指数函数,
1）函数的定义域为R；2）函数的值域为 ；
3）当 时函数为减函数,当 时函数为增函数.
②函数图像：
1）指数函数的图象都经过点（0,1）,且图象都在第一、二象限；
2）指数函数都以 轴为渐近线（当 时,图象向左无限接近 轴,当 时,图象向右无限接近 轴）；
3）对于相同的 ,函数 的图象关于 轴对称.
③函数值的变化特征：
（2）对数函数：
①定义：函数 称对数函数,
1）函数的定义域为 ；2）函数的值域为R；
3）当 时函数为减函数,当 时函数为增函数；
4）对数函数 与指数函数 互为反函数.
②函数图像：
1）对数函数的图象都经过点（0,1）,且图象都在第一、四象限；
2）对数函数都以 轴为渐近线（当 时,图象向上无限接近 轴；当 时,图象向下无限接近 轴）；
4）对于相同的 ,函数 的图象关于 轴对称.
③函数值的变化特征：
⑴幂函数： （ 注意 五种情况在第一象限的图象
9．二次函数：⑴解析式：①一般式： ；②顶点式： , 为顶点；③零点式： .
⑵二次函数问题解决需考虑的因素：①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号.⑶二次函数问题解决方法：①数形结合；②分类讨论.
10．函数图象⑴图象作法 ：①描点法（注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法
⑵图象变换：
平移变换：ⅰ , ———左“+”右“-”；
ⅱ ———上“+”下“-”；
伸缩变换：
ⅰ , （ ———纵坐标不变,横坐标伸长为原来的 倍；
ⅱ , （ ———横坐标不变,纵坐标伸长为原来的 倍；
对称变换：ⅰ ；ⅱ ；
ⅲ ； ⅳ ；
翻转变换：
ⅰ ———右不动,右向左翻（ 在 左侧图象去掉）；
ⅱ ———上不动,下向上翻（| |在 下面无图象）；
11．函数零点的求法：⑴直接法（求 的根）；⑵图象法；⑶二分法.
