楼上二位的证明方法都有问题,以下才是严格的证明.
证明：用反证法,设
lim (x趋于a) f'(x) = L,就是要证 L = f'(a),那么我们先假设L > f'(a).
如此一来,取L' = (L+f'(a)) / 2 > f'(a),根据函数极限的定义,对于
epsilon = (L-f'(a))/2 > 0,存在一个x的邻域 delta(x),使得在这个邻域内的任意一个x,都有,
| f'(x) - L | < epsilon, 推出 f'(x) > L - epsilon = L'.
然后考虑在a点导数的定义：
lim (x趋于a) [f(x) - f(a)] / (x-a) = f'(a),
考虑闭区间 [a,x] （或者 [x,a],取决于从哪个方向趋近于a,不过无所谓的）,由于函数在该闭区间上连续,在开区间 (a,x)上可导,故根据拉格朗日微分中值定理,存在 c 属于 (a,x),使得
[f(x) - f(a)] / (x-a) = f'(c),
接着,由于当x趋于a时, c也是趋于a的,所以最终,c一定会进入到刚才所说的x的邻域 delta(x)（注意我的epsilon 和邻域都已经取定了,对于固定的一个区间,只要c充分接近a,就一定会进入到这个区间）,到那个时候,就总是有
f'(c) > L',这样一来,当c趋于a时,由于函数极限的保号性,就有
f'(a) >= L' > f'(a),这显然是一个矛盾.
同理,你也可以证明,当L < f'(a)时也会出现矛盾,L'的取法还是一样, epsilon 你取 (f'(a) - L)/2即可.保证可以证的出来,不是一楼说的有问题.
还有问题可以追问.
