求最大的正整数k使得存在正整数n满足2^k整除3^n+1

问题描述:

求最大的正整数k使得存在正整数n满足2^k整除3^n+1
1个回答 分类:数学 2014-10-03

问题解答:

我来补答
当K=2时,取n=1,符合题意.
下面证明K≥3时,不存在这样的n.
考虑3^n+1除以8的余数.
当n为奇数时,令n=2m+1
则3^n+1=3^(2m+1)+1
=3x9^m+1
因为9的任何次方除以8皆余1,
所以3^n+1除以8余4,不能被8整除.
当n为偶数时,令n=2m
则3^n+1=3^(2m)+1
=9^m+1
因为9的任何次方除以8皆余1,
所以3^n+1除以8余2,不能被8整除.
所以k≥3时,不存在这样的n
综上所述,最大的整数k=2
 
 
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