设A为n*n矩阵,并令B=A-aE,其中a为常数,比较A和B的特征值有什么结论,试说明.

若λ是A的特征值,则 λ-a 是 B 的特征值
反之,若λ是B的特征值,则 λ+a 是A的特征值
故 λ 是A的特征值的充分必要条件是 λ-a是B的特征值
设λ是A的特征值,x是对应的一个特征向量,则 Ax=λx
所以 (A-aE)x = Ax-ax = λx-ax = (λ-a)x
即 λ-a 是A-aE=B 的特征值,x是B的属于特征值λ-a的特征向量.