已知圆的方程为x ^2+y ^2+kx+2y+k ^2=0,若定点A(1,2)在圆外,求K的取值范围.

x^2+y^2+kx+2y+k^2=0
x^2+kx+(k/2)^2+y^2+2y+1+k^2-(k^2)/4-1=0
(x+k/2)^2+(y+1)^2+(3/4)k^2-1=0
(x+k/2)^2+(y+1)^2=1-(3/4)k^2
圆半径√[1-(3/4)k^2],应有：1-(3/4)k^2≥0,即：k^2≤4/3,
解得：-(2√3)/3≤k≤(2√3)/3,即：k∈[-(2√3)/3,(2√3)/3],
圆心坐标(-k/2,-1),又已知点A(1,2)在圆外,
因此,有：
[1-(-k/2)]^2+[2-(-1)]^2＞1-(3/4)k^2
(1+k/2)^2+(2+1)^2＞1-(3/4)k^2
1+k+(k^2)/4+9＞1-(3/4)k^2
k^2+k+9＞0
k^2+k+1/4-1/4+9＞0
(k+1/2)^2+35/4＞0
可见,不关k为何值,恒有(k+1/2)^2+35/4＞0
因此,有：k∈(-∞,∞),
综合以上,所求取值范围是：k∈[-(2√3)/3,(2√3)/3].