当f(x)=x时,x的取值称为不动点,不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法.
典型例子： a(n+1)=(a(an)+b)/(c(an)+d)
注：我感觉一般非用不动点不可的也就这个了,所以记住它的解法就足够了.
我们如果用一般方法解决此题也不是不可以,只是又要待定系数,又要求倒数之类的,太复杂,如果用不动点的方法,此题就很容易了x=(ax+b)/(cx+d)
令 ,即 ,cx2+(d-a)x-b=0
令此方程的两个根为x1,x2,
若x1=x2
则有1/(a(n+1)-x1)=1/(an-x1)+p
其中P可以用待定系数法求解,然后再利用等差数列通项公式求解.
注：如果有能力,可以将p的表达式记住,p=2c/(a+d)
若x1≠x2则有(a(n+1)-x1)/(a(n+1)-x2)=q((an-x1)/(an-x2)
其中q可以用待定系数法求解,然后再利用等比数列通项公式求解.
注：如果有能力,可以将q的表达式记住,q=(a-cx1)/(a-cx2)
简单地说就是在递推中令an=x 代入
a(n+1)也等于x
然后构造数列.（但要注意,不动点法不是万能的,有的递推式没有不动点,但可以用其他的构造法求出通项；有的就不能求出）
我还是给几个具体的例子吧：
1.已知a(1)=m. a(n+1)=〔a*a(n)+b〕/〔c*a(n)+d〕 求an的通项
a(n)和a(n+1)分别表示数列的第n项和第n+1项
这种形式的递推式我有两种解法,待定系数法和不动点法,在此用不动点法解决此问题.
将原递推式中的a[n]与a[n+1]都用x代替得到方程x=(ax+b)/(cx+d)
即cx²+(d-a)x-b=0
记方程的根为x1,x2(为了简单起见,假设方程有两实根)
原方程可以变形为-x(a-cx)=b-dx
所以-x=(b-dx)/(a-cx),将x1,x2代入得到
-x1=(b-dx1)/(a-cx1)
-x2=(b-dx2)/(a-cx2)
将递推式两边同时减去x1得到a[n-1]-x1=[(a-cx1)a[n]+b-dx1]/(ca[n]+d)
即a[n-1]-x1=(a-cx1)[a[n]+(b-dx1)/(a-cx1)]/(ca[n]+d)
将-x1=(b-dx1)/(a-cx1)代入得到:
a[n-1]-x1=(a-cx1)(a[n]-x1)/(ca[n]+d)
同理:a[n-1]-x2=(a-cx2)(a[n]-x2)/(ca[n]+d)
两式相除得到(a[n+1]-x1)/(a[n+1]-x2)=[(a-cx1)/(a-cx2)]*[(a[n]-x1)/(a[n]-x2)]
从而{(a[n]-x1)/(a[n]-x2)}是等比数列
(a[n]-x1)/(a[n]-x2)=[(m-x1)/(m-x2)]*[(a-cx1)/(a-cx2)]^(n-1)
所以a[n]={x2*[(m-x1)/(m-x2)]*[(a-cx1)/(a-cx2)]^(n-1)-x1}/([(m-x1)/(m-x2)]*[(a-cx1)/(a-cx2)]^(n-1)-1}
2.An =2/A(n-1)+A(n-1)/2
求An通项
利用不动点来求通项:
设f（x）=2/x+x/2
当f（x）=x时
x=-2,2,此点为不动点
An-2=[A(n-1)-2]^2/2A(n-1)
An-(-2)=[A(n-1)-(-2)]^2/2A(n-1)
两式相除
An-2 =[A(n-1)-2]^2
—— ——————
An+2 [A(n-1)+2]^2
发现规律了吗?
此时再设{Bn}=（An-2）/(An+2 )
B1=（4-2）/(4+2)=1/3
递推式为：Bn =B（n-1）^2
所以Bn=（1/3)^[2^(n-1)]
由Bn通项和An通项的关系
解得：An={2*（1/3)^[2^(n-1)]+2} /
{1-（1/3)^[2^(n-1)] }
自己化简试一下吧
补充一下：不动点大多用于极限过程.如数学分析中的隐函数定理、反函数定理的一般形式,微分方程初值问题解的存在唯一性定理,都是利用不动点理论证明的.
可以参看任何一本组合数学的书.由于数列是分式线性变换的迭代,可以和二阶矩阵的乘幂对应,所以也可以利用线性代数的特征值得到标准形来求解,都是类似的想法.——这就是这个题目背后的数学内容
具体的内容大概写起来很长,建议你去查书,组合数学的书或数学竞赛书中讲组合数学或数列的一部分.
对于高中生,当然可以从更自然的角度去看这个问题：递推公式可以通过适当的变换,转化为（一个或两个）等比数列求解.
网上找到一篇文章,就是讲线性递推和分式线性递推数列的,会对你有帮助：
http://www.sowerclub.com/fmpic/atta3426.doc
1．斐波那契数列
莱昂纳多斐波那契（1175－1250）出生于意大利比萨市,是一名闻名于欧洲的数学家,其主要的著作有《算盘书》、《实用几何》和《四艺经》等.在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列,即：
假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子,每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子,每月一次,如此下去.年初时兔房里放一对大兔子,问一年以后,兔房内共有多少对兔子?
这就是非常著名的斐波那契数列问题.其实这个问题的解决并不是很困难,可以用表示第个月初时免房里的免子的对数,则有,第个月初时,免房内的免子可以分为两部分：一部分是第个月初就已经在免房内的免子,共有对；另一部分是第个月初时新出生的小免子,共有对,于是有.
现在就有了这个问题：这个数列的通项公式如何去求?为了解决这个问题,我们先来看一种求递归数列通项公式的求法——特征根法.
特征根法：设二阶常系数线性齐次递推式为（）,其特征方程为,其根为特征根.
（1）若特征方程有两个不相等的实根,则其通项公式为（）,其中A、B由初始值确定；
（2）若特征方程有两个相等的实根,则其通项公式为（）,其中A、B由初始值确定.（这个问题的证明我们将在后面的讲解中给出）
因此对于斐波那契数列,对应的特征方程为,其特征根为：
,所以可设其通项公式为,利用初始条件得,解得
所以.
这个数列就是著名的斐波那契数列的通项公式.斐波那契数列有许多生要有趣的性质,如：
它的通项公式是以无理数的形式给出的,但用它计算出的每一项却都是整数.斐波那契数列在数学竞赛的组合数学与数论中有较为广泛地应用.为了方便大家学习这一数列,我们给出以下性质：（请同学们自己证明）
（1）斐波那契数列的前项和；
（2）；
（3）（）；
（4）（）；
（5）（）；
2．分群数列
将给定的一个数列{}：按照一定的规则依顺序用括号将它分组,则可以得到以组为单位的序列.如在上述数列中,我们将作为第一组,将作为第二组,将作为第三组,……依次类推,第组有个元素,即可得到以组为单位的序列：（）,（）,（）,……我们通常称此数列为分群数列.
一般地,数列{}的分群数列用如下的形式表示：（）,（）,（）,……,其中第1个括号称为第1群,第2个括号称为第2群,第3个括号称为第3群,……,第个括号称为第群,而数列{}称为这个分群数列的原数列.如果某一个元素在分群数列的第个群中,且从第个括号的左端起是第个,则称这个元素为第群中的第个元素.
值得注意的是一个数列可以得到不同的分群数列.如对数列{}分群,还可以得到下面的分群数列：
第个群中有个元素的分群数列为：（）,（）,（）…；
第个群中有个元素的分群数列为：（）,（）,（）…等等.
3．周期数列
对于数列{},如果存在一个常数,使得对任意的正整数恒有成立,则称数列{}是从第项起的周期为T的周期数列.若,则称数列{}为纯周期数列,若,则称数列{}为混周期数列,T的最小值称为最小正周期,简称周期.
周期数列主要有以下性质：
（1）周期数列是无穷数列,其值域是有限集；
（2）周期数列必有最小正周期（这一点与周期函数不同）；
（3）如果T是数列{}的周期,则对于任意的,也是数列{}的周期；
（4）如果T是数列{}的最小正周期,M是数列{}的任一周期,则必有T|M,即M=（）；
（5）已知数列{}满足（为常数）,分别为{}的前项的和与积,若,则,；
（6）设数列{}是整数数列,是某个取定大于1的自然数,若是除以后的余数,即,且,则称数列是{}关于的模数列,记作.若模数列是周期的,则称{}是关于模的周期数列.
（7）任一阶齐次线性递归数列都是周期数列.
参考资料：http://gz.fjedu.gov.cn/shuxue/ShowArticle.asp?ArticleID=21934
