函数概念建立在映射的基础上,而映射不允许一对多,为什么所谓的多值函数却允许一对多?

我们通常说的函数是指单值函数,设f:A→B即对每一个x∈A,有唯一一个y∈B与之对应,即使f(x)=y.
映射分为单射、满射和双射.函数必须是满射,所以函数可以分成一一对应和多对一.前者如f(x)=x+1,后者如f(x)=x^2.
一一对应很好理解,如果定义域和值域都是有限集合,则它们的元素个数必定相等.
对于多对一,如果我们用箭头x0→y0表示一个对应f(x0)=y0,并定义 f-1(y)=x,当存在f(x)=y,即把箭头反向,那么映射f-1就是一对多映射,函数就由单值函数变成了多值函数.多值函数可分解成若干单值函数.
补充：楼主,你有点钻牛角尖了.函数确实可以分为单值函数（通常意义下的函数概念）和多值函数,但是两者只是概念上的区别,具体要看应用,我举个例子你加深理如方程x^2+y^2=1,-1≤x≤1确定了一个函数关系y=f(x).如果我们规定y≥0,那么y=f(x)就是一个单值函数,解析式为y=f(x)=sqrt(1-x^2),同理y≤0也确定了单值函数y=f(x)=-sqrt(1-x^2).如果我们规定-1≤y≤1,那么y=f(x)就是一个多值函数,因为对每一个x∈(-1,1),有两个y=±sqrt(1-x^2)与之对应,它可以分解成两个函数y=f(x)=sqrt(1-x^2),y≥0和y=f(x)=-sqrt(1-x^2),y≤0.
对于多值函数,我们一般用方程f(x,y)=0表示,对于单值和多值并不严格区分.你学了方程和曲线后理解就更加深刻了.