如图,AB为圆O直径,点C为弧AB的中点,弦CE交AB于点F,D为AB延长线上一点,且DE=DF

1)证明:DE=DF,则∠EDF=∠DFE=∠CFO.
连接OC,OE,OC=OE,则∠OCE=∠OEC.
又点C为半圆AB的中点,则OC⊥AB.
∴∠OCE+∠CFO=90°,则∠OEC+∠EDF=90°,得直线DE是圆O的切线.
延长AO并圆O于M,连接EM.
CM为直径,则∠CEM=90°=∠COF;∠ECM=∠OCF.
∴⊿CEM∽⊿COF,EM/EC=OF/OC=1/3.设EM=X,则CE=3X.
EM^2+CE^2=CM^2,10X^2=36,X^2=18/5,CE^2=9X^2=162/5,CE=9√10/5.
∠CEA=(1/2)∠AOC=45°.作CN垂直AE于N,则CN=NE=(√2/2)CE=9√5/5.
AN=√(AC^2-CN^2)=√(AO^2+CO^2-CN^2)=3√5/5,AE=AN+NE=12√5/5.
S⊿ACE=AE*CN/2=(12√5/5)*(9√5/5)/2=54/5.