已知,如图,四边形ABCD是菱形

问题描述:

已知,如图,四边形ABCD是菱形
∠B是锐角,AF⊥BC於点F,CH⊥AD於点H,在AB边上取点E,使得AE=AH,在CD边上取点G,使得CG=CF.连接EF、FG、GH、HE.
(1)求证:四边形EFGH是矩形;
(2)当∠B是多少度时,四边形EFGH是正方形?并证明.
1个回答 分类:数学 2014-12-02

问题解答:

我来补答
(1)AH=FC(AFCH是矩形),有AE=AH=CG=CF,BF=BE=HD=DG;AE=AH,∠AEH=∠AHE;BF=BE,∠BEF=∠BFE,∠B+∠BAD=180°,2∠AEH+∠BAD=180°,2∠BEF+∠B=180°,所以∠AEH+∠BEF=90°,∠HEF=90°;同理,∠EFG=90°,∠FGH=90°,∠GHE=90°,四边形EFGH为矩形.
这样证明也行,∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠GHE(用180度减去旁边两个角,旁边两个角分别相等),四个角相等,他们的和为360度,每个角自然是90度
也可先证明EFGH为平行四边形,再证一个角为90度;还可先证明EFGH为平行四边形,再证明EG=FH.
(2)由上知道EG=FH=AC,EFGH为正方形,有EF/AC=EF/FH=(根号2)/2,而BE/BA=EF/AC,有BE/BA=(根号2)/2,又BF=BE,有BF/BA=(根号2)/2=cosB,所以角B=45°;如果没学三角函数,就用勾股定理求出AF=(根号2)/2*BA,即AF=BF,三角形ABF为等腰直角三角形.
这是你推出∠B的思路,你要反过来写,就是由∠B=45°,最后得出EFGH为正方形.
 
 
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