笔算开平方方法
不用平方根表和计算器,可不可以求出一个数的平方根呢?
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先一起来研究一下,怎样求,这里1156是四位数,所以它的算术平方根的整数部分是两位数,且易观察出其中的十位数是3．于是问题的关键在于；怎样求出它的个位数a?为此,我们从a所满足的关系式来进行分析．
根据两数和的平方公式,可以得到
1156=(30+a)^2＝30^2＋2×30a＋a^2,
所以 1156-30^2＝2×30a＋a2,
即 256=(3×20+a)a,
这就是说,a是这样一个正整数,它与 3×20的和,再乘以它本身,等于256．
为便于求得a,可用下面的竖式来进行计算：
根号上面的数3是平方根的十位数．将 256试除以20×3,得4．由于4与20×3的和64,与4的积等于256,4就是所求的个位数a．竖式中的余数是0,表示开方正好开尽．于是得到
1156＝34^2,
上述求平方根的方法,称为笔算开平方法,用这个方法可以求出任何正数的算术平方根,它的计算步骤如下：(其中竖式未给出,如有人给出,在下感激不尽)
1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段,用撇号分开(竖式中的11’56),分成几段,表示所求平方根是几位数；
2．根据左边第一段里的数,求得平方根的最高位上的数(竖式中的3)；
3．从第一段的数减去最高位上数的平方,在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数(竖式中的256)；
4．把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数,所得的最大整数作为试商(3×20除256,所得的最大整数是 4,即试商是4)；
5．用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商．如果所得的积小于或等于余数,试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数,就把试商减小再试(竖式中(20×3+4)×4=256,说明试商4就是平方根的第二位数)；
6．用同样的方法,继续求平方根的其他各位上的数．
如遇开不尽的情况,可根据所要求的精确度求出它的近似值．例如
笔算开平方运算较繁,在实际中直接应用较少,但用这个方法可求出一个数的平方根的具有任意精确度的近似值．
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我国古代数学的成就灿烂辉煌,早在公元前一世纪问世的我国经典数学著作《九章算术》里,就在世界数学史上第一次介绍了上述笔 算开平方法．据史料记载,国外直到公元五世纪才有对于开平方法的介绍．这表明,古代对于开方的研究我国在世界上是遥遥领先的．
也可以用这种算法：
假设被开放数为a,如果用sqrt（a）表示根号a 那么(（sqrt(x)-sqrt(a/x))^2=0的根就是sqrt（a）
变形得
sqrt(a)=（x+a/x）/2
所以你只需设置一个约等于（x+a/x）/2 的初始值,代入上面公式,可以得到一个更加近似的值,再将它代入,就得到一个更加精确的值……依此方法,最后得到一个足够精度的 （x+a/x）/2的值.
如：计算sqrt(5)
设初值为2
1)sqrt(5)=(2+5/2)/2=2.25
2)sqrt(5)=(2.25+5/2.25)/2=2.236111
3)sqrt(5)=(2.236111+5/2.236111)/2=2.236068
这三步所得的结果和sqrt(5)相差已经小于0.001
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或者可以用二分法：
设f(x)=x^2-a
那么sqrt(a)就是f(x)=0的根.
你可以先找两个正值m,n使f(m)0
根据函数的单调性,sqrt(a)就在区间（m,n）间.
然后计算（m＋n）/2,计算f（（m＋n）/2）,如果它大于零,那么sqrt(a)就在区间（m,（m＋n）/2）之间.
小于零,就在（（m＋n）/2,n）之间,如果等于零,那么（m＋n）/2当然就是sqrt(a).这样重复几次,你可以把sqrt(a)存在的范围一步步缩小,在最后足够精确的区间内随便取一个值,它就约等于sqrt(a).
