求定积分 ∫[0,1] (1+x^2)^(-3/2) dx; ∫[0,2] x^2√(4-x^2) dx

1、设x=tant,dx=(sect)^2dt,
原式= ∫[0,π/4][（sect)^2]^(-3/2)*(sect)^2dt
=∫[0,π/4](sect)^2dt/(sect)^3
=∫[0,π/4]costdt
=sint[0,π/4]
=√2/2.
2、设x=2sint,dx=2costdt,
原式=∫[0,π/2]4(sint)^2*2costdt/(2cost)
=4∫[0,π/2](sint)^2dt
=2∫[0,π/2](1-cos2t)dt
=(2t)[0,π/2]-(sin2t))[0,π/2]
=π.
再问： 第二题为什么除以2cost 题里只是根号 没有分号啊
再答： √(4-x^2)=√[4-4(sint)^2]=√{4[1-(sint)^2]=2*cost.
再问： 那应该是再乘以2cost啊 怎么变成除以了
再答： 我看错了，看成除号了，设x=2sint,dx=2costdt, 原式=∫[0,π/2]4(sint)^2*2cost(2cost)dt =16∫[0,π/2](sint)^2(cost)^2dt =4∫[0,π/2](sin2t)^2dt =4∫[0,π/2](sin2t)^2dt =2∫[0,π/2](1-cos4t)dt =2t[[0,π/2]-(1/2)sin4t[0,π/2] =π.