如图,圆0中两条相等的弦AB,CD分别延长到E,F,使BE=DF(1)求证:EF的垂直平分线必过圆心.(2)若AB与CD

问题描述:

如图,圆0中两条相等的弦AB,CD分别延长到E,F,使BE=DF(1)求证:EF的垂直平分线必过圆心.(2)若AB与CD在圆0内相较于P,同样延长AB,CD,使BE=DF,那么是否还有(1)中的相同的结论,请说明理由(如图2)
1个回答 分类:数学 2014-10-08

问题解答:

我来补答
1.AB=CD
∠AOB=∠COD,又∠ODB=∠CBD
所以∠BDF=∠EDB,BE=DF
所以EF‖BD
EF垂直平分线也垂直平分BD
BD为圆O弦
所以EF垂直平分线必过圆心O
2.连接BD,作OV垂直DB,延长与EF交于点Q,作AB,CD的圆心距OI,OL
∵OV⊥DB
∴OV平分DB(即OV是DB的中垂线)
∵AB=CD
∴OI=OL
∵OD=OB=r,∠OIB=∠OLD
∴△OIB≌△OLD
∠PDO=∠PBO
∵OD=OB
∴∠ODB=∠OBD
∴∠ODB+∠PDO=∠OBD+∠PBO(即∠PDB=∠PBD)
∴DP=BP(△PDB是等腰三角形)
∵DF=BE
∴DP+DF=BP+BE(即PF=EF,△PFE是等腰三角形)
根据等腰三角形的三线合一可知△PDB中∠DPB的平分线即是DB的中垂线OV,同理得在等腰三角形PEF中∠DPB也是EF的中垂线OQ,所以OV与OQ在同一直线上,EF的垂直平分线必过圆心O
 
 
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