一道数学题,等的,已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形,且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°.(1

先设CC1=1,问题中的比值设为X,则CD=X,连结C1E（E为BD中点）,则有CE:C1A1=1:2,根据相似三角形,有C1F：FE=A1F：FC=2:1（F为C1E与A1C交点）
由余弦定理和∠C1CD=60 得C1D^2=X^2-X+1
因BD=CD=X,所以DE=X/2 由勾股定理得CE^2=3X^2/4-X+1
两边除以9,则为（CE/3）^2=FE^2=（3X^2/4-X+1）/9
同理可得FC^2=（A1C/3）^2=（3X^2+2X+1）/9（arccos∠A1AC=（-√3/3）,证略）
因为A1C垂直面C1BD,又显然A1C垂直BD,所以只要证A1C垂直C1E即可,所以有FE^2+FC^2=EC^2=3X^2/4,代入后得X=1（舍去负值）,所以CD:CC1=1:1得证
PS：其中^表示乘方,如X^2表示X的平方,√表示根号,如2√3/3表示3的平方根的二陪再除以3
补充补充：至于交点,LZ请想象一下,首先,题目说,∠C1CB＝∠C1CD＝60°,由此应该不难想象到C1C在面AC上射影应该是∠BCD的平分线,底面是菱形,所以∠BCD的平分线只能是CE,故CC1在面AC的射影是CE,所以C1E的射影也为CE（因为已经得到：点C1的射影在CE上了）,OK,至于A1C,LZ也可以同理,用A1A做想象,A1A的射影（在面AC的射影）是∠BAD的平分线,故也为∠BCD的平分线（因为是菱形嘛）,所以其射影也必为CE,好了,现在C1E与A1C的射影相同,且两者不可能一起垂直于面AC,所以应该很容易想象得出,两者必有一交点.