关于高斯公式的 ∮x3dydz+y3dzdx+z3 dxdy,其中曲面为球面x2+y2+z2=a2上半部分的外侧答案是五

你的题目积分符号错了,这个是曲线积分符号.
这种题目解法很多,我取其一回答你.为了用高斯公式,先得添加一个平面z=0,取下侧,这样构成一个封闭的曲面.分别对x、y、z求偏导数后原式=3∫∫∫(x²+y²+z²)dxdydz （这里用球坐标积分它,也可以用轮换对称性积分它,注意不能直接将x²+y²+z²=a²代入进去,那样是错误的）=(6πaˆ5)/5
最后要减去这个添加的平面z=0 ,∫∫x3dydz+y3dzdx+z3 dxdy 由于平面z=0 向x0z面和yoz面投影时面积为0,（知道为什么∫∫x³dydz=∫∫y³dzdx=0有向投影为0吗?这是因为dydz=cosα*ds,dzdx=cosβds其中cosα,cosβ为平面z=0的方向余弦,且α=90°,β=90°）所以它们的积分值也为0,所以这个积分=∫∫0+0+z3 dxdy =∫∫z3 dxdy ,将z=0代入被积式后值也为0 .所以原式=（6πaˆ5)/5-0 = （6πaˆ5)/5