在三角形ABC内有一点P,使角PAB=10度,角PBA=20度,角PCA=30度,角PAC=40度证明三角形ABC是等腰

题目:

在三角形ABC内有一点P,使角PAB=10度,角PBA=20度,角PCA=30度,角PAC=40度证明三角形ABC是等腰三角形

解答:

一、辅助线:
1、过A点做射线AX使∠PAX = 10°,∠CAX = 30°;
2、过B点做射线BY使∠PBY= 20°,交PX于点M,交AC于点N.
二、证明:
1、由原题得知:∠APB = 150°,∠APC = 110°,∠BPC = 100°;
2、∠BAP = ∠MAP =10°,∠ABP = ∠MBP =20°,得出P点是△ABM内心,
所以∠AMP = ∠BMP =60°,推出∠BPM =100°=∠BPC,所以点M在PC上.
3、由以上推出∠BMP = ∠PMA =∠AMN = ∠NMC=60°,∠CAM = ∠ACM =30°
可以推出AN=CN且BN⊥AC;
4、所以AB=AC,△ABC是等腰三角形.


分类: 数学作业
时间: 10月8日

与《在三角形ABC内有一点P,使角PAB=10度,角PBA=20度,角PCA=30度,角PAC=40度证明三角形ABC是等腰》相关的作业问题

  1. 在等边三角形ABC内有一点P,使角APB、角BPC、角APC之比为5:6:7,求以AP、BP、CP为边的三角形三内角之比

    三个内角的比为2:3:4.理由:在AP的一侧以AP长为边作等边△APD,使D位于△ABC外AC边一侧,易证△ABP≌△ACD(SAS),因此,CD=PB,PD=PA,△APD就是以AP、BP、CP为边的三角形设∠APB=5x,∠BPC=6x,∠APC=7x,由周角为360°,得∠APB+∠BPC+∠APC=18x=36
  2. 已知三角形ABC,在三角形ABC内做一点P,使它到三角形ABC三个顶点的距离相等

    边的垂直平分线的交点,外心
  3. 三角形ABC内,求一点P,使AP^2+BP^2+CP^2最小

    在平面直角坐标系中设三点A(a,b),B(c,d),C(e,f),P为三角形内一点(x,y) 则根据平面上两点距离公式 PA^2=(x-a)^2+(y-b)^2 PB^2=(x-c)^2+(y-d)^2 PC^2=(x-e)^2+(y-f)^2 PA^2+PB^2+PC^2=(x-a)^2+(y-b)^2+(x-c)^
  4. 在三角形ABC内,存在一点P,使PA的平方+PB的平方+PC的平方最小,则P是三角形ABC的

    重心.理由如下:(以下PA等均表示向量,因为箭头打不出)PA^2+PB^2+PC^2=PA^2+(PA+AB)^2+(PA+AC)^2=PA^2+PA^2+AB^2+2PA*AB+PA^2+AC^2+2PA*AC=3PA^2+2(AB+AC)*PA+AB^2+AC^2=3[PA+1/3(AB+AC)]^2+2/3AB^
  5. 在等边三角形ABC内取一点P,使∠BPC=150°,求证:以PA、PB、PC为边长的三角形是直角三角形

    因为 等边三角形ABC所以 AB=BC,角ABC=60度所以 可把三角形BPA绕点B旋转到三角形BDC,A点与C点重合,P点与D点重合,连接PD所以 角ABP=角CBD,PB=BD,DC=PA所以 角ABC=角PBD=60度因为 PB=BD所以 三角形BDP是等边三角形所以 角BPD=60度因为 角BPC=150度所以
  6. 在等边三角形abc内取一点p,使角bpc=150度,求证以pa,pb,pc为边的三角形为直角三角形

    将三角形PAB绕点B旋转至BA与BC重合得到三角形DCB,连接PD则有三角形PAB与DCB全等,角PBD=ABC=60度,BP=BD,PA=DC所以三角形PBD是正三角形,PD=PB,角BPD=60度因为角BPC=150度所以角DPC=90度所以以CD,PD,PC为边的三角形是直角三角形所以以PA,PB,PC为边的三角
  7. 一道高三数学选择题在三角形ABC内,存在一点P,使向量PA绝对值的平方+向量PB绝对值的平方+向量PC绝对值的平方最小,

    我觉得是外心埃|pa|^2+|pb|^2>=2|pa||pb||pc|^2+|pb|^2>=2|pc||pb||pa|^2+|pc|^2>=2|pa||pc|相加 |pa|^2+|pb|^2+|pc|^2+2|pa||pb|>=|pa||pb|+|pc||pb|+|pc||pc|当且仅当 |pc|=|pb|=|pa|时
  8. 在正三角形ABC内取一点D,使DA=DB,在三角形ABC外取一点E,使角DBE=角DBC,且BE=BA,求角BED的度数

    . ∵AD=DB 且△ABC是等边三角形 ∴点D在AB边的中垂线,即等边三角形过顶点C的高线上 ∴∠BCD=30度在△BDE与△BDC中 BD=BD ∠DBE=∠DBC BE=AB=BC ∴△BDE≌△BDC ∴∠BED=∠BCD=30度以上回答你满意么?
  9. 运用轴对称的性质作图在三角形ABC内找一点Q,使Q到AB、BC、CA的距离相等

    因为角平分线上的点到角两边的距离相等所以做三个角的角平分线,会交于一点Q,所以Q到AB BC CA的距离相等(如果是添加辅助线,两条直线就可以确定Q点)
  10. 在三角形ABC中,AB=2,BC=3,三角形ABC内有一点D,使角ADC+角B=180°,又CD=2,求当角B为何值时,

    B=120°S(ABC)-S(ADC)=S(max)S(ABC)=AB*BC*Sin60°/2=3根3/2根据余弦定理AB^2+BC^2-AC^2/2AB*BC=cos120°所以AC=根号19再次使用余弦定理DA^2+DC^2-AC^2/2DA*DC=cos60°所以DA=5S(ADC)=(1/2)DA*DC*cos
  11. 在三角形ABC内找一点O,使点O到三角形ABC三边的距离相等

    证明:∵过O点向各边作垂线OD、OG、OH,D、H、G在AB,BC、AC上.∵BE、CF是角平分线∴OD=OH,0H=OG(角平分线上的点到角的两边的距离相等)所以:OD=OH=OG(即O到三角形三边的距离相等)(或者用∠ODB=∠OHB(直角)∠DBO=∠HBO(BE平分∠ABC)OB=OB所以三角形DOB全等于三角
  12. 在三角形ABC内 求一点P 使AP2+BP2+CP2的值最小 (2是平方的意思)

    重心到三顶点距离平方和最小下面证明这个性质.在直角坐标系中,设点P(x,y)到A,B,C的距离平方和最小,然后证明 x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3证:|PA|^2+|PB|^2+|PC|^2=(x-x1)^2+(y-y1)^2+(x-x2)^2+(y-y2)^2+(x-x3)^2+(y-y3
  13. 在任意三角形ABC内取一点P,使PA+PB+PC和最小,问点P的位置并求证

    费马(Pierre De Fermat )是法国数学家,1601年8月17日出生于法国南部图卢兹附近的博蒙·德·洛马涅.费马曾提出关于三角形的一个有趣问题:在三角形所在平面上,求一点,使该点到三角形三个顶点距离之和最小.人们称这个点为“费马点”.引例:有甲乙丙三个村庄,要在中间建一供水站向三地送水,现要确定供水站的位置
  14. 在三角形ABC内找一点P,使PA^2+PB^2+PC^2取最小值.

    利用均值不等式必须要保证某一对称式结果恒定(如PA+PB+PC=c)时才能使用它来得到最小值这里并没有这种情况,所以无法使用均值不等式这里应该采取代数方法,重心也是正确结果.
  15. 如图,在△ABC中,AB=AC=BC,在△ABC内取一点D,使DB=DC,又作∠ECD=∠ACD,且AC=EC,

    角BAC=2角E.证明:因为 AC=EC,角ECD=角ACD,CD=CD, 所以 三角形ACD全等于三角形ECD, 所以 角CAD=角E,AD=ED, 因为 AB=AC,AC=EC, 所以 AB=EC, 又因为 DB=DC,AD=ED, 所以 三角形ABD全等于三角形ECD, 所以 角BAD=角E, 因为 角BAD=角
  16. 1、如图,△ABC内找一点P,使PA=PB=PC 2、如图,△ABC内找一点P,使P到三边距离相等

    (1)P点就是三角形ABC的外接圆的圆心这样可以作AB ,AC的垂直平分线的交点就是P(2)P点就是三角形ABC的内心.这样可以作角A ,角B的角平分线的交点就是P.
  17. 在△ABC内,求一点P,使(向量AP)2+(向量+BP) 2+(向量CP) 2最小.

    就是三角形的内心啦,是定律开动二维空间的想象力就出来了
  18. 在△ABC中,AB=AC=BC,在△ABC内取一点D,使DB=DC,又作∠ECD=∠ACD,且AC=EC,问∠BAC与∠

    ∠BAC与∠?的数量关系如何 ,说好,先证明△ECD≌△ACD(SAS)则∠E=∠CAD再证明△ACD≌△ABD(SSS)则∠CAD=∠BAD=1/2∠BAC=30°∵∠ACB=∠ABC60°∴∠ACB=2∠E ∴∠ABC=2∠E
  19. 在△ABC内,有一点P,使 丨向量PA丨^2+丨向量PB丨^2+丨向量PC丨^2最小 则P点是△ABC的(重心)

    简单的来说就要用到中线长公式,m^2=(2*a^2+2*b^2-c^2)/4其中a,b,c为三边,m为AB边中线长.这个公式用余弦定理很容易得到.设AB中点为D先假设丨向量PA丨^2+丨向量PB丨^2是个固定的值.那么用公式丨向量PA丨^2+丨向量PB丨^2=(4*丨向量PD丨^2+c^2)/2所以丨向量PD丨^2也是