问题描述：
已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将一个直角三角板的直角顶点P放在射线OM上，OP=m（m为常数且m≠0），移动直角三角板，两边分别交射线OA，OB与点C，D
（1）如图，当点C、D都不与点O重合时，求证：PC=PD；
（2）联结CD，交OM于E，设CD=x，PE=y，求y与x之间的函数关系式；
（3）如图，若三角板的一条直角边与射线OB交于点D，另一直角边与直线OA，直线OB分别交于点C，F，且△PDF与△OCD相似，求OD的长．
（1）如图，当点C、D都不与点O重合时，求证：PC=PD；
（2）联结CD，交OM于E，设CD=x，PE=y，求y与x之间的函数关系式；
（3）如图，若三角板的一条直角边与射线OB交于点D，另一直角边与直线OA，直线OB分别交于点C，F，且△PDF与△OCD相似，求OD的长．
问题解答：
我来补答
（1）证明：作PH⊥OA于H，PN⊥OB于N，则∠PHC=∠PND=90°，
则∠HPC+∠CPN=90°
∵∠CPN+∠NPD=90°
∴∠HPC=∠NPD，
∵OM是∠AOB的平分线
∴PH=PN，∠POB=45°，
∵在△PCH与△PDN中，
∠PHC=∠PND
PH=PN
∠HPC=∠NPD，
∴△PCH≌△PDN（ASA）
∴PC=PD；
（2） ∵PC=PD，
∴∠PDC=45°，
∴∠POB=∠PDC，
∵∠DPE=∠OPD，
∴△PDE∽△POD，
∴PE：PD=PD：PO，
又∵PD2=
1
2CD2，
∴PE=
1
2mx2，即y与x之间的函数关系式为y=
1
2mx2；
（3）①如图1，点C在AO上时，∵∠PDF>∠CDO，
令△PDF∽△OCD，
∴∠DFP=∠CDO，
∴CF=CD，
∵CO⊥DF
∴OF=OD
∴OD=
1
2DF=OP=m；
②如图2，点C在AO的延长线上时，
△PDF与△OCD相似，若∠2=∠PFD，则PC∥CD，与PC、DC相交于点C矛盾，
所以，只能是∠1=∠2，
由（1）可知PC=PD，
∴△PCD是等腰直角三角形，
∴∠1+∠2=45°，
∴∠1=22.5°，
过点P作PG⊥OM交OD于G，
∵∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，
∴△POG是等腰直角三角形，
∴OG=
2OP=
2m，
PG=OP=m，
∵∠1+∠3=∠PGO=45°，
∴∠3=22.5°，
∴∠1=∠3，
∴PG=DG=m，
∴OD=OG+DG=
2m+m=（
2+1）m，
综上所述，OD的长为：m或（
2+1）m．
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