求证明:向量空间v内两个子空间的并集仍是v的子空间,当且仅当这两个子空间一个是另一个的子集

很显然,若V1包含于V2,则两者之并就是V2,是V的子空间.
反之,用反证法证明.
若两个子空间V1并V2＝W是V的子空间,但V1不是V2的子集,V2也不是V1的子集,因此
存在a位于V1但不位于V2,b位于V2但不位于V1,于是a,b都是子空间W的元素,
由子空间的性质应有a+b位于W,即a+b或者位于V1,或者位于V2.
然而,若a+b位于V1,于是b＝(a+b)－a,a+b和a都是子空间V1的元素,于是
b也位于V1,矛盾.同理可知a+b不能位于V2.
综上知道V1,V2中必有一个是另一个的子集.